年, 京都大学の問題.【問】 【解】 図を描いてみれば, すぐにわかるように, 外心は で, 外接円の半径は, である ( が にあるときは正三角形である). 点 の座標を とおく. また, 垂心 の座標を とおく. は, から, へ下ろした垂線上にあるから, のとき, 垂心は…

年の慶應義塾大学予科の入試問題. 清々しいなあ.【問】 直角三角形 の直角頂 より斜辺に下せる垂線の足を とせば なることを証せよ.【解】 の外接円を とし, の外接円を とする. つの円, , は直交しているから, は の接線であり, また は の接線である. した…

年共通テスト, 数学 から. 黄金比 (この問題では ) を使って計算を効率よくやることについては, 記事 で触れておいた.【問】【解】 また,したがって,つまり, したがって, 四角形 は正方形である. //

年共通テスト, 数学 の問題から. 三角形の不等関係は, 記事 〜 参照.【問】 【解】 角 が鋭角のときは, , したがって, 同様に, 角 が直角のときは, , したがって, 同様に, 角 が鈍角のときは, , したがって, 問 と同様にして, 記事 の結果から, である. であ…

年共通テスト, 数学 の問題から. 直角三角形の外心が斜辺の中心にあるということがわかっていなければ話にならないが, 直角三角形でなくても成り立つ と の相似というのも, 幾何ではお馴染の事実で, すでに何度も使ってきた *1. したがって, 考えたり, その…

センター試験 数学 の問題.【問】 【解】 もちろん, チェバ・メネラウスの両定理を使って求めてもよいけれど, 天秤法 *1 だとあっけない (解答時間 分未満). つまり, と には重さ の錘, には重さ の錘を置けばよい. と の錘の釣り合いから, には, の重さがか…

センター試験の過去問題から, もう 問, 年の図形問題をやってみることにした. 設問の中の の長さがわからないで, そのまま沈没した受験生が多かったとあるが, それは何かの世迷いごとで, まさかなあと思ってしまう. ※ なお, 記事 には, 年センター試験の図形…

散歩していたら, 菊の展示をやっていたので, ちょっと覗いたら, 肥後菊があった. 伊勢菊もあったけれど, 花の状態は少しよくなかった. 年, センター試験の数学 は平均点が例年の中でもっとも低いので, 難易度が高いとされる問題をやってみた. 最初の問は図形…

数学検定 級の 次の問題を塾でやっていたら, 【問】 において の 等分線と辺 との交点を とするとき, を証明しなさい. //という問題があった. これは, 記事 ですでに証明済みで,円 に内接する の の二等分線が、辺 と交わる点を , 円周と交わる点を とすると…

年東大理科後期の問題.【解】円 の方程式を円 の方程式をとする. 題意から と は同心円ではないとしてよい. 平面上の点 について, 円 , の方べきが等しくなるときの軌跡を求める. つまり,これを整理すると,となり, 軌跡は直線となる. 点 , は, 円 , 双方の円…

簡単な問題だが, 昔から入試によく取り上げられる. 年, 京大の問題. なお, 与えられた 点を通り, 一本の直線に接する円の作図方法は, 記事 に示しておいた. 一般に円は つ描ける. 【問】 を正の実数とする. 座標平面上の 点 , , をとり, を考える. の値が変…

最初の問は, 黄金比 を使って計算量を減らせる問題. とか の三角比は入試にはそれなりに出題されている. これはたしか東大の入試問題だったと思う. 【問】 , とおく. このとき, 以下のことが成り立つことを示せ. および は有理数である. 任意の自然数 に対し…

下の図で, 平面 と直線 は垂直であるということをベクトルや座標を使わずに, 証明してみる. つの異なる平面が異なる 点を共有していれば, その つの平面は, その 点を通る直線を交線として含む. いま点 と を考え, その つの点を共に含む平面の中に, と があ…

東京都立高校 2017 年入試問題から. 簡単な問題だけれども, 立体の問題をきちんと説明するのは難しい.問 を含む切断面を求めるために, を通る の平行線 をひくと, は, 平面 上にある. 理由は前にも述べたように, と平行線を含む平面は, を含むが, と を含む…

例題をやっておく. 私立武蔵高校の 1980 年入試問題らしい.【問】 図のように三角柱 があり, , , である. 直線 の延長上に, となる点 をとる. 線分 の中点を とし, 線分 と平面 の交点を とする. このとき, 線分 の長さを求めよ.【解】線分 を含んでいる, 直…

フォイエルバッハの定理の反転法による証明. この証明を理解するための必要な準備は, いままでの記事で終わっている. 反転の説明は, 記事 でしておいた. また, 以下の証明では, 記事 でやった反転と調和点列の関係を使うので, もう一度あげておく., , , を調…

Overleaf を使わせてもらって, テキストを作るのに忙しかったのでブログは暫くお休みしていた.記事 () を書いてから, その後を書いていなかった. 記事 () では以下の証明まで終わっている. の内心を とする. また の外接円の半径を , 内接円の半径を とする.…

前回の記事でオイラー線に触れたので九点円の証明もやっておく.前回の結果から, , , の各辺の中点を結んだ は, 重心 を中心に相似比 で と相似の位置にある. の外接円の半径を とすれば, の外接円の半径は, で, その中心の位置 は, オイラー線上にあり, であ…

前回の記事の最後に引き続いて, 相似変換 (中心相似) の応用を少しやってみる.定円 内に定点 をとり, を通る弦 を引いて とせよ, という作図問題を考えてみる.作図の解析をするために, 条件をみたす弦 が引けたと考えると, を相似の中心として, , であるから…

以前, 反転を使ってトレミーの定理を証明したが, もう少し簡単な証明にする.準備として, 下図で, から,で, 角度を共有するので, と は相似である. したがって,であるが, なので,となる.//上で求めた結果を使ってトレミーの定理を証明する. だから,両辺に を…

初等数学において論理的思考力や発見力や創造力をつけるということは, ほとんど幾何を学ぶことと同値であるみたいな意見をいろいろと読んでいると, じゃあ幾何は呆け予防にもなるのかなあと, 不図思ってしまう.前回記事の算額の別解を反転 *1 を用いて与えて…

せっかくの機会なので, 前の記事の松山市伊佐爾波神社へ, 明治 (酉) 年、当時 歳だった高阪金次郎が奉納した算額を計算してみることにする. 作図のために, 途中までの計算はやったので, 後はなんとかなるだろう.解答の中で の値が必要になるので先に求めてお…

現在, どのくらい丁寧に教えられているかは知らないが, 作図題の「解析」という考え方は, 思わぬときに参考となるかもしれない*1. ここで使われている「解析」は広い意味で「総合」に至る前過程としていわれているもので, 今ではこの意味で「解析」という言…

つの定円と つの定直線に接する円は一般に つ描ける. 採用面接にも使われたことがあるそうな. 前の記事にも書いたけれど, 実際に作図していなかった.後は「反転」*1 を使って, 反転の中心を通る二つの円は直線に変換され, それに内接する小円は等円に変換さ…

少し間があいたが, 記事 の続き. では, 基本的な,「 点を通り 本の直線に接する円」と「 点を通り つの円に接する円」の つの作図の類型を見た. 与えられた同一直線にはない 点を通る円は, 点の外心を求めればよく, また与えられた 直線が 点で交わらず, ど…

作図の練習中. なるべく簡単なものからと思い正三角形に円を内接させてみた. これは簡単で, 正三角形の内心を求めて, つできる三角形から内心をまたそれぞれ求めれば, すぐに作図できる.この図に後 つ同じ円が入る. 円に内接する円を描くのも, そんなに難し…

平成 年度神奈川県公立高校入試問題. 何ということはない問題である. しかし, 別解を思いつかなかった. 一つだけ見つけて, 結構役に立ちそうなこともわかったので, メモしておく. 円に内接する 角形の対角線が直交するならば, 組の対辺の長さの平方和は, 外…

方べきの定理とその逆を使うと, 作図に便利なことがある. 特に, ここで扱う作図題で重要なのは, の辺 の延長上の 点を とするとき, ならば, 直線 は, 円 に接する. ということである.まずは, 基本的な例題. 与えられた 点を通り, 与えられた直線に接する円を…

数 で, 与えられた交わる 円の交点ともう一点, (同一直線上にはない) 別の点を通る円の方程式を求める問題で, 「円束」*1 を使って解くやり方があるが, それがなぜ円の方程式になるかという大変良い質問をされて, 計算する羽目になった. これは, 初等幾何的…

この問題は, まっとうに解いた方が早いなあ. やりたくないけど……【問】 点 を中心とする円に内接する四角形 において, , , , とする. と をそれぞれ, と を用いて表わせ.【解】 から に垂線を下ろして, その足を とする. 問題の仮設より,なので, である. し…