数学検定 級の
次の問題を塾でやっていたら,
【問】
において
の
等分線と辺
との交点を
とするとき,
を証明しなさい. //
という問題があった. これは, 記事 ですでに証明済みで,
円 に内接する
の
の二等分線が、辺
と交わる点を
, 円周と交わる点を
とすると,
と
は相似だから,
したがって,
で, これに方べきの定理を使って,
とすればよいが, なかなか思いつきにくい証明なので, スチュワートの定理を用いた別解を考える.
【別解】
まず, スチュワートの定理は覚えていないので証明する.
とすると,
であり,
と
に余弦定理をそれぞれ使って,
として,
これがスチュワートの定理である.
いまの場合, は角
の
等分線で,
だから, たとえば,
とでき, スチュワートの定理から,
となる. から,
である.//
※ 中線定理 (パップスの定理) は, として,
と得られる.