ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (266)

初等幾何高校数学

数学検定 $2$ 級の $2$ 次の問題を塾でやっていたら,

【問】
$\triangle ABC$ において $\angle A$ の $2$ 等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき,

$AD^2 = AB\cdot AC - BD\cdot CD$

を証明しなさい. //

という問題があった. これは, 記事 $(186)$ ですでに証明済みで,

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円 $O$ に内接する $\triangle ABC$ の $\angle A$ の二等分線が、辺 $BC$ と交わる点を $D$ , 円周と交わる点を $M$ とすると, $\triangle ABD$ と $\triangle AMC$ は相似だから,

$\displaystyle{\frac{AB}{AD}=\frac{AM}{AC}}$

したがって,

$\displaystyle{AB \cdot AC=AD \cdot AM}$

で, これに方べきの定理を使って,

$\displaystyle{\begin{align}AB \cdot AC &=AD \cdot AM\\&= AD(AD+DM)\\&=AD^2 + AD\cdot DM\\&=AD^2+BD\cdot DC \end{align}}$

とすればよいが, なかなか思いつきにくい証明なので, スチュワートの定理を用いた別解を考える.

【別解】
まず, スチュワートの定理は覚えていないので証明する.

$\angle ADC = \theta$ とすると, $\angle ADB= \pi- \theta$ であり, $\triangle ADC$ と $\triangle ADB$ に余弦定理をそれぞれ使って,

$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2AD\cdot DC\cos \theta$

$AB^2 = AD^2 + DB^2 +2AD\cdot DB\cos \theta$

$BD: DC = m:n$ として,

$m AC^2 + nAB^2 \\ \quad = (m+ n) AD^2 + mDC^2 + n DB^2$

これがスチュワートの定理である.

いまの場合, $AD$ は角 $A$ の $2$ 等分線で, $BD: CD = AB:AC = m:n$ だから, たとえば,

$mAC^2 = mAC\cdot AC = nAB\cdot AC$

とでき, スチュワートの定理から,

$(m + n) AB\cdot AC \\ \quad = (m+ n) AD^2 + (m+ n)BD \cdot CD$

となる. $m+ n \neq 0$ から,

$AD^2 = AB\cdot AC - BD \cdot CD$

である.//

※ 中線定理 (パップスの定理) は, $BD: DC = 1:1$ として,

$AB^2 + AC^2= 2 (AD^2 + BD^2)$

と得られる.