陥没地帯 (214) - ノリの悪い日記

フォイエルバッハの定理の反転法による証明. この証明を理解するための必要な準備は, いままでの記事で終わっている. 反転の説明は, 記事 $(174)$ でしておいた. また, 以下の証明では, 記事 $(175)$ でやった反転と調和点列の関係を使うので, もう一度あげておく.

$A$ , $P$ , $B$ , $Q$ を調和点列とし, $M$ を $AB$ の中点とするとき,

$MA^2 = MB^2 = MP\cdot MQ$

が成立する.
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フォイエルバッハの定理は, 以下のようなものである.

三角形の九点円は, 内接円と ( $3$ つの) 傍接円に接する.

反転法を使うと, 九点円が, 内接円と傍接円に接することが一度に証明できる.

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三角形の傍心は, 三角形のひとつの内角の $2$ 等分線と $2$ つの外角の $2$ 等分線の共点なので, 上図で, $A$ , $I$ (内心), $I_1$ (傍心) は同一直線上にある.

上図で緑色の円は九点円であり, 九点円は三角形の頂点 $A$ から辺 $BC$ (またはその延長) に下ろした垂線の足 $D$ , 辺 $BC$ の中点 $L$ , 辺 $AC$ の中点 $M$ を通る.

直線 $AB$ , $BC$ , $CA$ は, 内接円 $I$ と傍接円 $I_1$ の共通接線である. もう $1$ 本の共通内接線 $EF$ を引くと, $A$ , $K$ は $2$ つの円の相似の中心であり, 記事 $(211)$ で見たように, $A$ , $I$ , $K$ , $I_1$ は調和点列である.

内心 $I$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $X$ , 傍心 $I_1$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $X_1$ とする. 三角形の相似から,

$AI: IK = DX:XK$ , $AI_1: I_1 K = DX_1:X_1K$

なので, $D$ , $X$ , $K$ , $X_1$ も調和点列をなす.

記事 $(189)$ でみたように, $BC = a$ , $AC =b$ , $AB = c$ とおき, $s = (a+b+c)/2$ とすれば,

$BX = s - b$ , $CX_1 = s-b$

なので, $BX = CX_1$ である. したがって, $BC$ の中点 $L$ は, $XX_1$ の中点でもある. これから, 最初に確認したように,

$LX^2 = LX_1^2 = LD \cdot LK$

となる.

$L$ を中心とし, 半径 $LX = LX_1$ の反転円による反転を考えると, 内接円 $I$ は, 方べきの定理により, 自分自身に反転されることがわかる (内接円と反転円は直交). また, 同じように傍接円も方べきの定理から自分自身に反転されることがわかる (傍接円と反転円も直交). 九点円は, 円周が反転の中心 $L$ を通るので, 直線に変換される. $LD \cdot LK = k^2$ であったから, その直線は, $K$ を通り, 九点円の $L$ における接線と平行な直線である.