ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (292)

初等幾何 高校数学

1933 年の慶應義塾大学予科の入試問題. 清々しいなあ.

【問】
直角三角形 ABC の直角頂 A より斜辺に下せる垂線の足を D とせば

AB^2:AC^2 = BD:DC

なることを証せよ.

【解】

\triangle DBA の外接円を O_1 とし, \triangle DAC の外接円を O_2 とする. 2 つの円, O_1, O_2 は直交しているから, AB は O_2 の接線であり, また AC は O_1 の接線である. したがって, 方べきの定理より,

AB^2 = BD \cdot BC
AC^2 = DC \cdot BC

となる. 両式より,

\begin{eqnarray} AB^2: AC^2 &=& (BD \cdot BC): (DC \cdot BC) \\&=& BD: DC \end{eqnarray}

となる.

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同じく, 1933 年の慶應義塾大学予科の入試問題.

【問】
三角形 ABC の内接円と BC, CA との接点を D, E とし, 内心を O とす. AO と ED との交点を G とすれば, BG は AG に垂直なることを証せよ.

【解】

\displaystyle{\angle COG =\frac{1}{2}(\angle BAC + \angle ACB)}

OC と DE の交点を H とすると, \angle OHG は直角だから,

\displaystyle{ \angle AGH \\= 90^{\circ} -\frac{1}{2}(\angle BAC + \angle ACB) \\= \frac{1}{2}(180^{\circ} -\angle BAC -\angle ACB) \\= \frac{1}{2}\angle ABC }

\displaystyle{ \angle OBD = \angle OGD = \frac{1}{2}\angle ABC}

から, 点 B, O, D, G は, 同一円周上にある. したがって,

\angle BGO = \angle BDO = 90^{\circ}

である.
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