与えられた複雑な条件よりもより簡単な同値条件を求めるという問題は数学では非常に多くあるが, 最初に理解しておかないといけないのは, 一般的に「すべての」とか「存在する」とかの修飾を受け量化された変数 (束縛変数) は消去され, 自由変数のみの同値条…

年のセンター試験の問題をやってみる.【問】 の整数解のうち, が正の整数で最小のものを求めよ.【解】ほとんど,こけおどしだが, 時間がない中で計算ミスは避けたい.を解くだけだが, さすがに の前の係数が大きいので, 簡単にする必要がある.まず, の倍数のテ…

いろいろ試行錯誤しているうちに, 一次不定方程式の解き方は, やっぱり合同式がもっともよいという結論に達した. 解くのに試行錯誤さえいらず, どんな場合にも解けることがわかったし計算も簡単である. 自然数解が簡単に扱えるので適用範囲も広い. 以下の問…

前回の中学入試についての記事は, もちろん中国剰余定理が背景にあるわけだが, 同じようにして解ける高校数学の問題をやってみる. 以下の解法は参考書には挙げられていないので, 書く気になった. 参考書には, 合同式を使った解法が別解として挙げられていて,…

半角の公式の図形的証明. の内心を , の内側にある傍心を とする. , , とする. また, から, に下ろした垂線の足を , から, の延長に下ろした垂線の足を とする.だから,ここで,から, と は相似である. したがって, , つまり,また, だから, と は相似である. …

大正 年の幾何の問題. 左横書きの採用というのは, 数式がある以上, ほぼ必然だったんだということに今更気がついた. ちなみに新聞の見出しが右横書きから左横書きに変わったのは, 戦後のことである.【問】 三角形 ノ重心 ヲ通リテ直線 ヲ引キ二邊 , ト夫々 ,…

年, 京大文系の問題. この問題のように垂心とか, 外心とかを位置ベクトルで表せという問題をよく見かける. 表わすのはよいが, そうするといったい何がうれしいのだろう. 【問】 において, , , とする. の垂心を とするとき, を と を用いて表わせ.【解】平面…

京大 年, 理系甲の問題. いろいろな解き方があるなあ. 時間に余裕がないときは, 解 で終わらしてしまうと思う.【問】 において, の二等分線とこの三角形の外接円との交点で と異なる点を とする. 同様に, , の二等分線とこの外接円との交点をそれぞれ, , と…

京大文系 年のやさしい問題. しかも, 記事 ですでにやった内容だが, いろいろな求め方があるので, 別解としてあげておく. 半角の公式はすぐに忘れるが, 忘れたら都度導出していれば, そのうち自然に覚えてしまう.【問】【解】 , , とおく. とすると,だから,…

三角形の重心と内心が常に三角形の内部にあるというような基本的なことを高校数学の範囲で証明するには, ベクトルを使うのが明快でよいと思う. 例えば, 「 において, 点 が, 直線 に関しては頂点 と同じ側にあり, 直線 に関 しては頂点 と同じ側にあり, 直線…

年の “Iberoamerican Mathematical Olympiads” の問題から.【問】 の外心を とする. 直線 と の交点を , 直線 と の交点を , 直線 と の交点を とし, の外接円の半径を とする. このとき,が成り立つことを証明せよ.【解】 が直角三角形のとき, たとえば を直…

記事 の結果から, 角の 等分線の長さを実際に求めることができる.だから, //「シュタイナー=レームスの定理」という下のような定理があるが, 上で求めた中線の長さを使って味もそっけもなく証明してみる.【定理】 の , の 等分線と , の交点をそれぞれ, , と…

年京大乙理系の問題. 同一法でも記事 で触れた内容が示せるという, とても面白い問題である. これは幾何の問題として, 国際的にみても, 歴史的にみても恥ずかしくないレベルにあると思う. ちなみに, 年の数学オリンピックは, 日本は国別順位 位だったんだな…

「 のそれぞれの内角の 等分線の交点のうち, 辺に近い 点を結んでできる三角形は正三角形である」という, 名高いモーリーの定理. 日本では, 年頃によく知られるようになり, 林鶴一が 年に, フランク・モーリーから林宛の書簡を添えて紹介記事を書いているの…

年のセンター試験の問題. ジェルゴンヌ点が出てくるのでとりあげてみた. ナーゲル点とジェルゴンヌ点は, 等距離共役点である.【問】 【解】 とおく. 内接円の半径を とすれば,だから, から,, は, ジェルゴンヌ点で, は内接円と の接点である.接弦定理から, …

すでに触れた内容もあるが, 傍心に関する基本事項がややこしいので, まとめておく.三角形 の頂点 の外角 の 等分線と頂点 の外角 の 等分線の交点を とする. から に垂線を下ろし, その足を とする. また, から直線 , に下ろしたそれぞれの垂線の足をあらた…

三角形の外心と垂心は等角共役点である.【問】 の内心を , 外心を , 垂心を とするとき, の面積を求めよ.【解】 の内接円の半径を とし, 外接円の半径を とする. から に下ろした垂線の足を とし, 垂線が円と交わる点を とする. から , から , から に下ろし…

年の東京大学, 文理共通問題. 中学受験の問題にそのままなりそうである.【問】 【解】 メネラウスの定理から,したがって,これから,同様にして,したがって,以上より, の面積と の面積の比は, である. //【別解】 したがって, あとは同じである. //

「清宮の定理」の証明. 証明法は直前の記事の「ターナーの定理」の証明とほぼ同じである. *1【定理】 の外接円上の 点を , とし, 辺 , , に関する点 の対称点をそれぞれ , , とする. 直線 , , が , , と交わる点をそれぞれ , , とすると, 点 , , は 直線上に…

「発見的研究法」と副題がついている清宮俊雄の著書『幾何学』にあるターナーの定理の証明. 「清宮の定理」は, 直前の記事にあるようにターナー (Turner) の定理の拡張によって得られたとされている.【定理】 の外接円 に関してたがいに反転をなす 点を , と…

シムソン線をなす点 , , を点 を相似の中心として 倍の相似比で相似変換した点 , , を結んだ直線をスタイネル (シュタイナー) 線という. なぜ, シムソン線を相似変換しただけの直線に名前がついているかというと, この直線は, 直前の記事で示した の垂心を通…

シムソンの定理の初等幾何による証明が出てきたのでスタイネル (Steiner) の定理の初等幾何による証明もみておく.【定理】 の垂心を とし, 外接円周上の 点を とすると, 点 の に関するシムソン線は線分 の中点を通る.【証明】最初に記号の定義をする.シムソ…

年センター試験, 数学 追試験から. 最初はシムソン線の証明. なお, 記事 には複素平面を使ったシムソンの定理とスタイネルの定理の証明をあげておいた.【問】 【解】 ※ で, から証明してもよい.// が直角のとき, 四辺形 は長方形. が円 の直径になるとき, か…

年, 京都大学の問題.【問】 【解】 図を描いてみれば, すぐにわかるように, 外心は で, 外接円の半径は, である ( が にあるときは正三角形である). 点 の座標を とおく. また, 垂心 の座標を とおく. は, から, へ下ろした垂線上にあるから, のとき, 垂心は…

年の慶應義塾大学予科の入試問題. 清々しいなあ.【問】 直角三角形 の直角頂 より斜辺に下せる垂線の足を とせば なることを証せよ.【解】 の外接円を とし, の外接円を とする. つの円, , は直交しているから, は の接線であり, また は の接線である. した…

共通テスト, 数 から.【問】 【解】 から,したがって, について恒等的に成り立ち, より,, したがって, したがって, 公比が よりも大きい等比数列である.したがって, が条件をみたす等比数列であるためには, で つまり, かつ したがって, をみたすことが必要…

年共通テスト, 数学 から. 黄金比 (この問題では ) を使って計算を効率よくやることについては, 記事 で触れておいた.【問】【解】 また,したがって,つまり, したがって, 四角形 は正方形である. //

年共通テスト, 数学 の問題から. 三角形の不等関係は, 記事 〜 参照.【問】 【解】 角 が鋭角のときは, , したがって, 同様に, 角 が直角のときは, , したがって, 同様に, 角 が鈍角のときは, , したがって, 問 と同様にして, 記事 の結果から, である. であ…

年共通テスト, 数学 の問題から. 条件付き確率の問題はかなりやったので, 計算間違いさえしないよう気をつければ, これぐらいはすらすら解けると思う. 異常なまでに, つまらない問題である. 問題文ばかりが徒らに長くなるところなんか, まるで大画面化に走っ…

年共通テスト, 数学 の問題から. 直角三角形の外心が斜辺の中心にあるということがわかっていなければ話にならないが, 直角三角形でなくても成り立つ と の相似というのも, 幾何ではお馴染の事実で, すでに何度も使ってきた *1. したがって, 考えたり, その…