自分が高校生だった頃になく, 今はあることで羨ましいと思う数少ない数学の参考書は, 長岡亮介著『総合的研究 論理学で学ぶ数学――思考ツールとしてのロジック』 (2017) であるが, その後書きにこんなことが書いてある.蛇足に過ぎないんだが, 集合を表わすの…

全称命題と存在命題の扱いに慣れるために, 以前解いた問題を見直してみる. ※ 2 つ前の記事 「便利な(?) 論理演算」からの続きである.【問】 は定数とする. つの不等式, を同時に満たす整数 が存在し, かつそれが自然数のみになるとき, の値の範囲を求めよ.【…

自分だけそう思っているにすぎないかも知れないけれど, 便利だと思っている論理演算について書いてみる. なお, ここでは恒真命題は , 恒偽命題は で表わすことにする.まず, 単項命題 , の書き換えとして,これは, が前提を必要とせず, 成り立つことを示してい…

ここでは, 線型代数の知識を用いることなしに, 直線 が平行となる条件を求めてみる.上の つの方程式が直線を表わす条件は,※ 中括弧 は 「かつ」を意味する.ここで,だから, 次のように場合分けすると, すべての場合を排他的に場合分けできる.※ 縦線 は 「また…

いつの頃からこの種の問題を扱うようになったか知らないが, 数 の不等式のところで, 整数解を何個持つ云々という類いの問題があるのだが, そこに挙げられている解法については唖然とした. こんな風に解かないといけないものなのだろうか. 自分にはとても真似…

前の記事の続き. 今度はグラフを移動しないやり方で, いままでの解法を整理しておく. 下の二つの問題が解ければ, 他の問題もさして難しくないだろう.【問】 次方程式 の異なる実数解のうち, ただ つが, の範囲にあるような定数 の範囲を求めよ.【解】 問題で…

前回の記事で, グラフの移動について書いたので, 前にも解いた 次方程式の解の存在範囲の問題をもっと簡単に (?) 解いてみよう. 数 II では, 数 I のグラフを利用した解法を「解と係数の関係」「判別式」と対応づけてその同値を理解する単元がある.【問】 方…

グラフの移動の話も前に書いたんだが, その後, もう少しマシな説明を思いついたので, 下の図を使ってしてみよう. この図はグラフの平行移動に関して, (それほど熱心ではないが調べた範囲では) 唯一感銘を受けた田島一郎さんによる説明で使用されていたものを…

三角関数の初等的説明で, ときどき気持ち悪いのは, 「それって一般角で本当に成り立つの?」と思ってしまう疑問に答えてくれないことだ. 別に証明が大変というわけではない. たとえば, の場合, 加法定理で証明すればよいではないかと思うかもしれないが, そも…

三角関数の余角や補角の還元公式は上の図のようにグラフから判断するやり方 *1が一番直感的だし, 簡単だし, 早いと思うが, 微分や積分を使っても導ける. この方法だとほぼ瞬間的にわかるものもあるし, 時間がかかるものもある. (複素数で, , , をかけるより…

この記事は, 前にも書いたことがある内容をただ言いかえているだけである.前田隆一の『新算数教育講座』第 3 巻 (1960) については, 最近の記事で紹介したが, 文章題に「観点変更」をもたらす数理的主題のひとつとして前田は「量を分けること」もあげている.…

与えられた複雑な条件よりもより簡単な同値条件を求めるという問題は数学では非常に多くあるが, 最初に理解しておかないといけないのは, 一般的に「すべての」とか「存在する」とかの修飾を受け量化された変数 (束縛変数) は消去され, 自由変数のみの同値条…

年のセンター試験の問題をやってみる.【問】 の整数解のうち, が正の整数で最小のものを求めよ.【解】ほとんど,こけおどしだが, 時間がない中で計算ミスは避けたい.を解くだけだが, さすがに の前の係数が大きいので, 簡単にする必要がある.まず, の倍数のテ…

いろいろ試行錯誤しているうちに, 一次不定方程式の解き方は, やっぱり合同式がもっともよいという結論に達した. 解くのに試行錯誤さえいらず, どんな場合にも解けることがわかったし計算も簡単である. 自然数解が簡単に扱えるので適用範囲も広い. 以下の問…

前回の中学入試についての記事は, もちろん中国剰余定理が背景にあるわけだが, 同じようにして解ける高校数学の問題をやってみる. 以下の解法は参考書には挙げられていないので, 書く気になった. 参考書には, 合同式を使った解法が別解として挙げられていて,…

半角の公式の図形的証明. の内心を , の内側にある傍心を とする. , , とする. また, から, に下ろした垂線の足を , から, の延長に下ろした垂線の足を とする.だから,ここで,から, と は相似である. したがって, , つまり,また, だから, と は相似である. …

大正 年の幾何の問題. 左横書きの採用というのは, 数式がある以上, ほぼ必然だったんだということに今更気がついた. ちなみに新聞の見出しが右横書きから左横書きに変わったのは, 戦後のことである.【問】 三角形 ノ重心 ヲ通リテ直線 ヲ引キ二邊 , ト夫々 ,…

年, 京大文系の問題. この問題のように垂心とか, 外心とかを位置ベクトルで表せという問題をよく見かける. 表わすのはよいが, そうするといったい何がうれしいのだろう. 【問】 において, , , とする. の垂心を とするとき, を と を用いて表わせ.【解】平面…

京大 年, 理系甲の問題. いろいろな解き方があるなあ. 時間に余裕がないときは, 解 で終わらしてしまうと思う.【問】 において, の二等分線とこの三角形の外接円との交点で と異なる点を とする. 同様に, , の二等分線とこの外接円との交点をそれぞれ, , と…

京大文系 年のやさしい問題. しかも, 記事 ですでにやった内容だが, いろいろな求め方があるので, 別解としてあげておく. 半角の公式はすぐに忘れるが, 忘れたら都度導出していれば, そのうち自然に覚えてしまう.【問】【解】 , , とおく. とすると,だから,…

三角形の重心と内心が常に三角形の内部にあるというような基本的なことを高校数学の範囲で証明するには, ベクトルを使うのが明快でよいと思う. 例えば, 「 において, 点 が, 直線 に関しては頂点 と同じ側にあり, 直線 に関 しては頂点 と同じ側にあり, 直線…

年の “Iberoamerican Mathematical Olympiads” の問題から.【問】 の外心を とする. 直線 と の交点を , 直線 と の交点を , 直線 と の交点を とし, の外接円の半径を とする. このとき,が成り立つことを証明せよ.【解】 が直角三角形のとき, たとえば を直…

記事 の結果から, 角の 等分線の長さを実際に求めることができる.だから, //「シュタイナー=レームスの定理」という下のような定理があるが, 上で求めた中線の長さを使って味もそっけもなく証明してみる.【定理】 の , の 等分線と , の交点をそれぞれ, , と…

年京大乙理系の問題. 同一法でも記事 で触れた内容が示せるという, とても面白い問題である. これは幾何の問題として, 国際的にみても, 歴史的にみても恥ずかしくないレベルにあると思う. ちなみに, 年の数学オリンピックは, 日本は国別順位 位だったんだな…

「 のそれぞれの内角の 等分線の交点のうち, 辺に近い 点を結んでできる三角形は正三角形である」という, 名高いモーリーの定理. 日本では, 年頃によく知られるようになり, 林鶴一が 年に, フランク・モーリーから林宛の書簡を添えて紹介記事を書いているの…

年のセンター試験の問題. ジェルゴンヌ点が出てくるのでとりあげてみた. ナーゲル点とジェルゴンヌ点は, 等距離共役点である.【問】 【解】 とおく. 内接円の半径を とすれば,だから, から,, は, ジェルゴンヌ点で, は内接円と の接点である.接弦定理から, …

すでに触れた内容もあるが, 傍心に関する基本事項がややこしいので, まとめておく.三角形 の頂点 の外角 の 等分線と頂点 の外角 の 等分線の交点を とする. から に垂線を下ろし, その足を とする. また, から直線 , に下ろしたそれぞれの垂線の足をあらた…

三角形の外心と垂心は等角共役点である.【問】 の内心を , 外心を , 垂心を とするとき, の面積を求めよ.【解】 の内接円の半径を とし, 外接円の半径を とする. から に下ろした垂線の足を とし, 垂線が円と交わる点を とする. から , から , から に下ろし…

年の東京大学, 文理共通問題. 中学受験の問題にそのままなりそうである.【問】 【解】 メネラウスの定理から,したがって,これから,同様にして,したがって,以上より, の面積と の面積の比は, である. //【別解】 したがって, あとは同じである. //

「清宮の定理」の証明. 証明法は直前の記事の「ターナーの定理」の証明とほぼ同じである. *1【定理】 の外接円上の 点を , とし, 辺 , , に関する点 の対称点をそれぞれ , , とする. 直線 , , が , , と交わる点をそれぞれ , , とすると, 点 , , は 直線上に…