ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

高校数学

陥没地帯 (201)

数 で, 与えられた交わる 円の交点ともう一点, (同一直線上にはない) 別の点を通る円の方程式を求める問題で, 「円束」*1 を使って解くやり方があるが, それがなぜ円の方程式になるかという大変良い質問をされて, 計算する羽目になった. これは, 初等幾何的…

陥没地帯 (200)

ある人が学ぶことが, どんどん貧しくなっている下のような具体例を挙げてくれていて, なるほどなと思った.その人は, 自分だったら「連続した つの偶数の積は, の倍数であることを証明せよ」とノーヒントで出すとも言っているが, この発言にも共感できる. 自…

陥没地帯 (199)

図形ばかり続いたので, たまには, 整数をやる. 京大の2010年.【問】次の問に答えよ. を正の整数, とする. は, で割り切れるが, では割り切れないことを示せ. を正の偶数とする. が で割り切れるならば または, であることを示せ.【解】 は, 数学的帰納法で証…

陥没地帯 (198)

この問題は, まっとうに解いた方が早いなあ. やりたくないけど……【問】 点 を中心とする円に内接する四角形 において, , , , とする. と をそれぞれ, と を用いて表わせ.【解】 から に垂線を下ろして, その足を とする. 問題の仮設より,なので, である. し…

陥没地帯 (197)

【問】 絵具を使って正四面体の各面に色を塗る方法について, 次の問に答えよ. ただし, 正四面体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす. また, すべての面に同じ色を塗る方法を含める. 色の絵具のセットから絵具を選んで色を塗る方法は何通りあるか. 色の…

陥没地帯 (194)

塾で, こんな問題があった.【問】 において , とする. 辺 の中点を , 辺 を に内分する点を , 辺 を に内分する点を , 線分 と線分 の交点を とするとき, を , で表せ.もちろん, 普通 (だが, 普通とはなにか?) のやり方で解けば良い*1のだが, を幾何で求め…

陥没地帯 (192)

前の記事の続き. 過去の入試問題から.【問】 三角形 の内部の一点を とするとき, が成り立つことを証明せよ. 長方形 の辺 , 上にそれぞれ点 , をとる. このとき, が成り立つことを証明せよ.【解】 前の記事で証明したので省略する.(誘導問題として残しておい…

陥没地帯 (187)

年のセンター試験, 数 の問題. なんか, 公式の計算練習のような問題で, わざわざやって損したような気分. 【解】 方べきの定理より,したがって,メネラウスの定理から,なので,である. したがって,だから, これを解いて,となる. 余弦定理より, から、 の内接円…

陥没地帯 (183)

バラ科シモツケソウ属。それ以上の区別はいまだにできない。 バイカウツギ。 複素数を使って初等幾何を扱う練習. 以下断らない限り, 平面は複素平面で, 円は単位円である.上図で異なる点を , , , として と が平行である必要条件を求めてみる. と が平行であ…

陥没地帯 (180)

以前やった *1 年の京都大学の文理共通の入試問題だが, 複比の練習問題としてもう一度やる.【問】 平行四辺形 において, 辺 を に内分する点を , 辺 を に内分する点を , 辺 を に内分する点を とする. 線分 と線分 の交点を とし, 線分 を延長した直線と辺 …

陥没地帯 (171)

最後にもう一題.【問】 次方程式 が次の条件を満たすような定数 の範囲を求めよ.(1) 異なる つの実数解のうち, ただ つが にある.(2) 異なる つの実数解のうち, ただ つが にある.(3) に少なくとも つの実数解をもつ.(4) に少なくとも つの実数解をもつ.【解…

陥没地帯 (170)

前回の記事でやり方がわかったので次の問題も解いてみる。【問】 方程式 の つの実数解のうち, 少なくとも つが の範囲にあるような定数 のとりうる値の範囲を求めよ。【解】 とおく。そうすると方程式は, グラフを 軸に沿って 移動し, とおいて,範囲は を考…

陥没地帯 (169)

前回のやり方でもう一題やってみよう。【問】 が の範囲に少なくとも一つの実数解を持つような実数 の条件を求めよ。【解】 とおく。すると、 軸方向に 移動させて とおいておく。考える範囲はに変わる。 から、 であるが、そうすると だから、実数解をもつ…

陥没地帯 (168)

二次方程式の解の配置に類する問題って、退屈な計算だけれども、高校数学の定番である。【問】 の 解 (重解含む) がともに より大きいための条件を求めよ。【解】 としてよいから、として、 とおけば、 グラフを 軸方向に 移動すると が実解 (重解含む) をも…

陥没地帯 (167)

グラフ を 軸方向に , 軸方向に 移動したときのグラフ がどう表せるのかというのに混乱する子が多い。うーん!?……移動後のグラフ 上の点 は と表せるが、その座標は、グラフ の点 を 方向に , 方向に だけ移動させることによっても表すことができるのだから、…

陥没地帯 (166)

数 III の問題やっていたら次の関数を微分しろとかあった。それで両辺の絶対値の自然対数をとってから微分すると楽だとか書いてあるんだが、だから、合成関数の微分の公式を少し書き換えてを計算するのと同じことで、余計なことを考えないだけこちらの方が楽…

陥没地帯 (158)

単なるメモ。フーリエ変換の式が必要になったけれど、忘れたのでフーリエ級数から計算した。周期 の関数 が区間 で定義されていれば、 ここで、 とし、だが、である。フーリエ成分は、でよい。関数 の定義区間を に変更すると、 とすれば だから、そうすると…

陥没地帯 (155)

塾で数 とかやっていて 直線 に関して、点 と対称な点を とするとき、複素数 を求めなさい。 とかいう問題を見ていると、僕の頃は数学教育の現代化とか言われていた頃で複素数平面はやらなかったし、二次元の回転は行列で行うことを習ったので、今でもまずそ…

陥没地帯 (112)

藪柑子が出てくる俳句をいろいろと見ていると、岡田史乃という方の 日没は四時三十二分薮柑子 という句もとても面白いなあと思って、日の出、日の入りの時刻をネットで調べていたら、中学の理科とかでは太陽の南中する時刻は (同じ経度で) 一定と習うけれど…

陥没地帯 (98)

前々回の記事の続き。なんで 3 項間漸化式から始めて 2 項間漸化式を後回しにするかというと、数学では上のレベルにあげると見通しが急によくなることがあるという例として使えそうかなと思っただけである。必ず習っているだろう、の場合だって、として、三…

陥没地帯 (96)

花が少なくなったし、塾の方も定期試験対策や受験シーズン到来で忙しくなったので、久しぶりに高校数学でも書こうと思う。高校 2 年生は、数列や三角関数、指数・対数なんかが定期試験範囲である。漸化式を教えて欲しいと言われたので、感覚を取り戻すために…

陥没地帯 (34)

高校の物理をものすごく久しぶりにひととおりやって懐かしかった。高校物理の範囲だとアプリオリに認めなければいけないことがいくつかあるなあ。たとえば、屈折率の小さい方から大きい方に向かう光が境界面で反射するときには位相が ずれるというようなこと…

陥没地帯 (33)

中学 3 年の理科で星 (恒星)や太陽を地球から見たときの動き方を習うが、大人になってさえ基本的な動き方を理解していない人が多いのはなぜだろうと考えた。自分が思うに、太陽を除く恒星の見かけの動きと太陽の見かけの動きの違いが不十分にしか理解されて…

陥没地帯 (32)

バラ。ウイリー沖山さんが亡くなられたことを知って『山の人気者』を聞いた。ウィリー沖山 アルペン・ミルクマン 1959 / Alpine Milkman中野忠晴とコロムビア リズムボーイズ - 山の人氣者【問】 を素数、 を互いに素な正の整数とするとき、は、実数でないこ…

陥没地帯 (31)

オミナエシ。秋の七草のひとつだが、こんな頃からもう咲き始めるんだなあ。これは自生しているものだと信じたいが、もうこの辺の山野で自生している姿を普通に見かけるのは難しいのではないかと思う。ユリ。コムラサキ。ハゼラン。モモイロカイウ。まだ色が…

陥没地帯 (30)

フウセントウワタの実。道端で見つけた。花はこんなである。ヒャクジツコウ (百日紅)。木肌からサルスベリともいわれるが、夏椿なんかも同じような木肌をしているので、やはりサルスベリと呼ばれることがある。ハナウリクサ (トレニア)。ハナウリは「花売り…

陥没地帯 (29)

グラジオラス。ヤマモモの実。ゲラニウム。ヤグルマカッコウ。タイマツバナ、ヤグルマハッカ、ベルガモット、ビーバーム、モナルダなどとそれぞれ好きなように呼んでいるなあ。スイレン。八重のムクゲ (木槿)。槿花と書くとキンカと読む。なお槿花は朝顔を指…

陥没地帯 (28)

サクユリ。伊豆半島と伊豆諸島に自生する、原種としては世界最大の百合。ヤマユリ。日本を代表する花のひとつだと思うんだが、最近あまり見かけなくなった気がする。 ユリ。【問】 を素数、 を正の整数とするとき, は で何回割り切れるか。【解】 の内、素数…

陥没地帯 (27)

ヤブミョウガ。タマアジサイの蕾がだいぶ大きくなってきた。コマツヨイグサ。 【問】 のすべての約数の個数、和、積を求めよ。【解】 だから、約数すべての個数は約数すべての和は、約数すべての積は、約数を とすれば、から、なので、 //

陥没地帯 (26)

ホンアマリリス。ヒメオウギスイセン。 【問】 と を互いに素、すなわち 以外の公約数をもたない正の整数とし、さらに は奇数とする。正の整数 に対して整数 , をを満たすように定めるとき、次の を示せ。ただし、 が無理数であることは証明なしに用いてよい…