ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

高校数学

陥没地帯 (256)

年の横浜国大の相加・相乗平均の不等式の証明についての問題だが, ここで使われている数学的帰納法の型が面白い. まず問 と問 によって, ( は自然数) で正しいことを示し, さらに問 で, その前の自然数でも正しいことを示すことで, 命題を証明している. 相加…

陥没地帯 (255)

年の東大文科の問題. 前の理科と同じ 番の問題で, こちらは 次方程式の問題である. の誘導の意図がわからないうちは, 立方完成 (チルンハウゼン変換) なんかしないで, まっとうに解く方が良さそうで, そうすれば, 実際に素直に解けてしまう問題である. が (…

陥没地帯 (254)

難問揃いで知られる 年の東大理科の問題のひとつ. 眠いし, かなり難易度高いので, まず問 だけやった. も普通に解こうとするとすごいことになりそうなので, 記事 の平均変化率の方法を活用して解くことを考えた.※ 問 もその後, 解いたので, この記事に追記す…

陥没地帯 (253)

ちょっと古いんだけど, 年の東大文理共通問題. 証明を書くまでに実験が必要.【問】 【解】 実験により, と仮説をたてたので, これが正しいことを以下のように証明する.なお, 以下に用いる合同式はすべて法 で考える.必要条件: ならば, , , となって, に の倍…

陥没地帯 (252)

ファインマンの経路積分は難しいけれども, ファインマンの微分は, 大学入試問題にも使える. 年の大阪大学理系の問題から.【問】 【解】 のとき, だから, である. 対数関数は単調増加だから, のとき, , のとき, である. したがって, は, で最大値 をとる.と表…

陥没地帯 (251)

年の東大理科の問題. これも記事 同様, 問 の不等式を問 でどう使うのかという問題. ただ, の不等式よりは, まだ人間的というか, 類推できる形をしていると思う.問 では, の正負で場合分けしたくないがために ではなく, をかけたのが大失敗で, 階微分まで計…

陥没地帯 (250)

記事 の問題 ( 年東大) の問題を前回の二項定理を使った方法で解き直す. 前のよりはだいぶすっきりしたなあ. 念のため, 基本定理の証明を最初にしておく.【基本定理】 標数 の素体 *1 の任意の要素 , について,が成立する。【証明】 左辺を二項定理で展開し…

陥没地帯 (249)

あっという間に解けてしまってつまらなかった京大 (2003年), 東大 (2015 年) の問題. 最初の京大の問題の類題は昨年の大学入試でも他の大学から出題されているので, いまや定番問題といえる. 今年の西暦を使った整数問題も定番である. 今年は, であったので,…

陥没地帯 (248)

組立除法は要らないとか, 一応知っているだけという人がいるかもしれないので, あえて書くのだが, そういう人って, もしかしたら,とか与えられていて, を求めるときに,を計算して, と出しているのかもしれない. 組立除法を使えば,となって, こちらの方が早い…

陥没地帯 (247)

年東大理科の問題. この問題は、直前の記事 に出てきた, が並ぶ数字, つまりレプユニット数に関する問題である. (素数であるレプユニット数は, 現在まで 個以下しか見つかっていないにもかかわらず, 無限にあると予想されており, これは未解決問題である.) …

陥没地帯 (246)

年東大理科. 容易に設問の意図がつかめず, 誘導であるはずの の不等式をどう使うのか, あれこれ悩まされる問題となっている. まず, この問題をやる前に, 次のことを理解するとよいかもしれない (余計わからなくなるかもしれないが……).たとえば, , の計算を同…

陥没地帯 (245)

同じく, 年東大理科の問題. 積分計算だけの問題はホッとする. すでに数 積分については解説済みなので, ここでは計算だけする. この問題は, つの計算の中にいろいろな側面が入っているので, 記事 の問題に続き, 積分計算練習問題セットの 問目だなあ. 【問】…

陥没地帯 (244)

年東大理科の問題. 問題文が短くてよいし, さして難しくない. (ピタゴラス数とか知っていれば, 法 で考えることはすぐに思いつく.)【問】 を 以上の整数とする. と の最大公約数 を求めよ. は整数の 乗にならないことを示せ.【解】 だが, は法 で または に…

陥没地帯 (243)

年東大理科後期の問題.【解】円 の方程式を円 の方程式をとする. 題意から と は同心円ではないとしてよい. 平面上の点 について, 円 , の方べきが等しくなるときの軌跡を求める. つまり,これを整理すると,となり, 軌跡は直線となる. 点 , は, 円 , 双方の円…

陥没地帯 (242)

単なる連立方程式の問題. いきなり解を求めるのではなく, 同次式にしてまず比例式 (連比) を求めるというのは, ありがちである. 比例式が求まってしまえば, あとは定石通り. ちなみに超初歩的だが, は かつ かつ と同値だが, たとえば, と があれば, は自動…

陥没地帯 (241)

簡単な問題だが, 昔から入試によく取り上げられる. 年, 京大の問題. なお, 与えられた 点を通り, 一本の直線に接する円の作図方法は, 記事 に示しておいた. 一般に円は つ描ける. 【問】 を正の実数とする. 座標平面上の 点 , , をとり, を考える. の値が変…

陥没地帯 (240)

前の記事の続き.有理数 (, , は自然数で互いに素) の連分数展開,で, 第 近似 は, から, , となる.第 近似 は, から, , となる.第 近似 は, 第 近似の を に置き換えればよいから,から, , となる. のとき, 第 近似 をと仮定すると, 第 近似 は, 第 近似の を …

陥没地帯 (239)

次方程式の整数解を求めるやり方として, 共通テストで出題されるような簡単な問題は, 合同式で求めた方が早いと思うが, そうでない場合は, 連分数で求めることにしている. 不定方程式 の整数解 (特殊解) を見つけたかったら, を連分数展開して, の直前の近似…

陥没地帯 (238)

ずっと前 *1 に, 次の問題 ( 年東大文理共通) をやったことがあるけれども, 別解に気がついた. この問題は, フィボナッチ数列に関係している.【問】 は正の整数とする。 を で割った余りを とおく。 数列 は を満たすことを示せ。 に対して、 は ともに正の…

陥没地帯 (237)

年東大文理共通問題. 要するに連分数に関係した問題である. は答が黄金比と白銀比に関連している. は有理数の連分数がユークリッド互除法と同値であることを示せばよい.【問】 実数 の小数部分を, かつ が整数となる実数 のこととし, これを記号 で表す. 実…

陥没地帯 (236)

有限増分定理は, 森毅の著作 「現代の古典解析」で知った. 彼が訳したディユドネの「現代解析の基礎」では, 平均値の定理として「有限増分定理」を紹介している. ディユドネは, 平均値の定理の真価は等式にあるのではなく, 不等式にあるのだ. と書いている. …

陥没地帯 (235)

最初の問は, 黄金比 を使って計算量を減らせる問題. とか の三角比は入試にはそれなりに出題されている. これはたしか東大の入試問題だったと思う. 【問】 , とおく. このとき, 以下のことが成り立つことを示せ. および は有理数である. 任意の自然数 に対し…

陥没地帯 (234)

年の京大理系の問題.【問】 与えられた自然数 に対し, 数列 を , によって定める. ただし実数 に対し, は を超えない最大の整数を表す. および のとき, 数列 を求めよ. すべての自然数 に対し, 次の つの不等式 , が成り立つことを示せ. ならば, 以上のすべ…

陥没地帯 (233)

過去の入試問題から. 解いてから, すでに以前の記事で紹介済みであることに気がついた. 【問】 整数 に対し とおき, と定める. ただし, は虚数単位を表す. このとき, が任意の に対して成り立つような正の整数 をすべて求めよ.【解】 は, 任意の について整…

陥没地帯 (232)

気分を変えて, 過去の大学入試問題から.【問】 , は自然数で は定数とする. 平面上の点 を頂点とし, 原点と点 を通る放物線を考える. この放物線と 軸で囲まれる領域の面積を , この領域の内部および境界線上にある格子点の数を とする. このとき極限値を求…

陥没地帯 (231)

何題か基本問題で練習してみる.【例題 1】 [解] したがって, //【例題 2】 [解] ()とおくと, したがって, //【例題 3】 [解] ()とおくと, //【例題 4】 [解] ()とおくと, したがって, //※ あるいは, から, 例題 3 の結果を使って //【例題 5】 [解] とおくと…

陥没地帯 (230)

高校数学の積分計算をすっきり行うための必要事項をすでに述べたことも含めて以下にまとめておく. 逆三角関数 , が全単射となるよう, として, 逆双曲線関数 , が全単射となるよう, として, 三角関数の倍角の公式 (次数下げ) 基本関数の微分 部分分数分解実数…

陥没地帯 (229)

積分計算で, 三角関数の積を和に変えることが必要になることがあるが, 三角関数の積和公式は覚える必要はないし, 必要でもないので, 導出するだけ時間の無駄である.前回の記事で双曲線関数がそうであったように, と は同値なのだから, 後は加法定理を知って…

陥没地帯 (228)

双曲線関数 , は, オイラーの公式と似ている,で定義された関数である. は,で定義される.である. これから,もすぐにわかる. 後は双曲線関数の加法定理,で, の符号が三角関数と違うことだけ覚えておけばよい. その他の公式は, 三角関数同様, すべてこれらから…

陥没地帯 (227)

逆関数の積分というのは, 次のようなからくりになっている.求める逆関数の積分をとする. で置換積分することを考える. すると, だから,であり, したがって,となる. これを部分積分すると,となる. (定積分で面積計算するときなど, この式が役立つことがある. …