年東大理科後期の問題.【解】円 の方程式を円 の方程式をとする. 題意から と は同心円ではないとしてよい. 平面上の点 について, 円 , の方べきが等しくなるときの軌跡を求める. つまり,これを整理すると,となり, 軌跡は直線となる. 点 , は, 円 , 双方の円…

簡単な問題だが, 昔から入試によく取り上げられる. 年, 京大の問題. なお, 与えられた 点を通り, 一本の直線に接する円の作図方法は, 記事 に示しておいた. 一般に円は つ描ける. 【問】 を正の実数とする. 座標平面上の 点 , , をとり, を考える. の値が変…

最初の問は, 黄金比 を使って計算量を減らせる問題. とか の三角比は入試にはそれなりに出題されている. これはたしか東大の入試問題だったと思う. 【問】 , とおく. このとき, 以下のことが成り立つことを示せ. および は有理数である. 任意の自然数 に対し…

下の図で, 平面 と直線 は垂直であるということをベクトルや座標を使わずに, 証明してみる. つの異なる平面が異なる 点を共有していれば, その つの平面は, その 点を通る直線を交線として含む. いま点 と を考え, その つの点を共に含む平面の中に, と があ…

東京都立高校 2017 年入試問題から. 簡単な問題だけれども, 立体の問題をきちんと説明するのは難しい.問 を含む切断面を求めるために, を通る の平行線 をひくと, は, 平面 上にある. 理由は前にも述べたように, と平行線を含む平面は, を含むが, と を含む…

例題をやっておく. 私立武蔵高校の 1980 年入試問題らしい.【問】 図のように三角柱 があり, , , である. 直線 の延長上に, となる点 をとる. 線分 の中点を とし, 線分 と平面 の交点を とする. このとき, 線分 の長さを求めよ.【解】線分 を含んでいる, 直…

前の記事の関連で, 以下のような 点を含む平面 (もちろん平面はただ一つに決まる) による立方体の切断面を決定する手順を考えてみる.まず, 点を結ぶしかない.一番手前の赤丸が存在している (立方体の) 稜線 ともう一方の底面に存在している赤丸を含む平面 は…

フォイエルバッハの定理の反転法による証明. この証明を理解するための必要な準備は, いままでの記事で終わっている. 反転の説明は, 記事 でしておいた. また, 以下の証明では, 記事 でやった反転と調和点列の関係を使うので, もう一度あげておく., , , を調…

Overleaf を使わせてもらって, テキストを作るのに忙しかったのでブログは暫くお休みしていた.記事 () を書いてから, その後を書いていなかった. 記事 () では以下の証明まで終わっている. の内心を とする. また の外接円の半径を , 内接円の半径を とする.…

前回の記事でオイラー線に触れたので九点円の証明もやっておく.前回の結果から, , , の各辺の中点を結んだ は, 重心 を中心に相似比 で と相似の位置にある. の外接円の半径を とすれば, の外接円の半径は, で, その中心の位置 は, オイラー線上にあり, であ…

前回の記事の最後に引き続いて, 相似変換 (中心相似) の応用を少しやってみる.定円 内に定点 をとり, を通る弦 を引いて とせよ, という作図問題を考えてみる.作図の解析をするために, 条件をみたす弦 が引けたと考えると, を相似の中心として, , であるから…

以前, 反転を使ってトレミーの定理を証明したが, もう少し簡単な証明にする.準備として, 下図で, から,で, 角度を共有するので, と は相似である. したがって,であるが, なので,となる.//上で求めた結果を使ってトレミーの定理を証明する. だから,両辺に を…

初等数学において論理的思考力や発見力や創造力をつけるということは, ほとんど幾何を学ぶことと同値であるみたいな意見をいろいろと読んでいると, じゃあ幾何は呆け予防にもなるのかなあと, 不図思ってしまう.前回記事の算額の別解を反転 *1 を用いて与えて…

せっかくの機会なので, 前の記事の松山市伊佐爾波神社へ, 明治 (酉) 年、当時 歳だった高阪金次郎が奉納した算額を計算してみることにする. 作図のために, 途中までの計算はやったので, 後はなんとかなるだろう.解答の中で の値が必要になるので先に求めてお…

現在, どのくらい丁寧に教えられているかは知らないが, 作図題の「解析」という考え方は, 思わぬときに参考となるかもしれない*1. ここで使われている「解析」は広い意味で「総合」に至る前過程としていわれているもので, 今ではこの意味で「解析」という言…

つの定円と つの定直線に接する円は一般に つ描ける. 採用面接にも使われたことがあるそうな. 前の記事にも書いたけれど, 実際に作図していなかった.後は「反転」*1 を使って, 反転の中心を通る二つの円は直線に変換され, それに内接する小円は等円に変換さ…

少し間があいたが, 記事 の続き. では, 基本的な,「 点を通り 本の直線に接する円」と「 点を通り つの円に接する円」の つの作図の類型を見た. 与えられた同一直線にはない 点を通る円は, 点の外心を求めればよく, また与えられた 直線が 点で交わらず, ど…

作図の練習中. なるべく簡単なものからと思い正三角形に円を内接させてみた. これは簡単で, 正三角形の内心を求めて, つできる三角形から内心をまたそれぞれ求めれば, すぐに作図できる.この図に後 つ同じ円が入るのは, 納得. 円に内接する円を描くのも, そ…

平成 年度神奈川県公立高校入試問題. 何ということはない問題である. しかし, 別解を思いつかなかった. 一つだけ見つけて, 結構役に立ちそうなこともわかったので, メモしておく. 円に内接する 角形の対角線が直交するならば, 組の対辺の長さの平方和は, 外…

方べきの定理とその逆を使うと, 作図に便利なことがある. 特に, ここで扱う作図題で重要なのは, の辺 の延長上の 点を とするとき, ならば, 直線 は, 円 に接する. ということである.まずは, 基本的な例題. 与えられた 点を通り, 与えられた直線に接する円を…

数 で, 与えられた交わる 円の交点ともう一点, (同一直線上にはない) 別の点を通る円の方程式を求める問題で, 「円束」*1 を使って解くやり方があるが, それがなぜ円の方程式になるかという大変良い質問をされて, 計算する羽目になった. これは, 初等幾何的…

この問題は, まっとうに解いた方が早いなあ. やりたくないけど……【問】 点 を中心とする円に内接する四角形 において, , , , とする. と をそれぞれ, と を用いて表わせ.【解】 から に垂線を下ろして, その足を とする. 問題の仮設より,なので, である. し…

前回の 年度の神奈川県公立高校入試問題の続き.【問】 図のように長方形 があり, 辺 の中点を とする. また辺 上に点 を となるようにとり, 辺 上に を線分 と線分 が垂直に交わるようにとる. さらに線分 と線分 の交点を とする. , のとき, 線分 の長さを求…

年度の神奈川県公立高校入試問題をやってみる. 正解率は だそうである. 別解 はなかなか気づかなかった.【問】 図のように長方形 があり, 辺 の中点を とする. また辺 上に点 を となるようにとり, 辺 上に を線分 と線分 が垂直に交わるようにとる. さらに…

塾で, こんな問題があった.【問】 において , とする. 辺 の中点を , 辺 を に内分する点を , 辺 を に内分する点を , 線分 と線分 の交点を とするとき, を , で表せ.もちろん, 普通 (だが, 普通とはなにか？) のやり方で解けば良い*1のだが, を幾何で求め…

正方形 の辺 上の点を とし, 直線 が直線 と交わる点を とすれば, である.線分 の中点を とすると,であるから, であることを示せばよい. そのために, で が鈍角であることを示せばよい. は直角三角形 の斜辺の中点なので, は二等辺三角形 であり, したがって…

前の記事の続き. 過去の入試問題から.【問】 三角形 の内部の一点を とするとき, が成り立つことを証明せよ. 長方形 の辺 , 上にそれぞれ点 , をとる. このとき, が成り立つことを証明せよ.【解】 前の記事で証明したので省略する.(誘導問題として残しておい…

つの三角形の不等関係というのは,● 二等辺三角形の底角は等しい. ● 三角形の つの頂点の外角は, 残りの つの頂点の内角の和に等しい.という性質から演繹されるものである. において であることと は同値である. まず, を仮定すると, となるよう, 線分 上に …

三角形の面積を求めるヘロンの公式で, 三角形の周の長さに関連して と置いているが, こう として置くことはヘロンの公式以外でも便利である. の内接円が , , と接する点を とする. だから, たとえば,である. すると, という, 覚えるのが簡単な式ができる.傍…

円周角に関連して次の つの性質はよく知られている.i) 円の 弦 と が 円の内部の点 において交わるときは, は, に等しい弧の上に立つ円周角に等しい.【証明】 となるように, 円周上に点 をとれば, である. したがって, となる.//ii) 円の 弦 と が 円の外部…