陥没地帯 (235) - ノリの悪い日記

最初の問は, 黄金比 $\phi$ を使って計算量を減らせる問題. $36^\circ$ とか $72^\circ$ の三角比は入試にはそれなりに出題されている. これはたしか東大の入試問題だったと思う.

【問】
$\displaystyle{a = \sin^2\frac{\pi}{5}}$ , $\displaystyle{b = \sin^2\frac{2\pi}{5}}$ とおく. このとき, 以下のことが成り立つことを示せ.

$(1)$ $a + b$ および $ab$ は有理数である.
$(2)$ 任意の自然数 $n$ に対し, $(a^{-n} + b^{-n})(a + b)^n$ は整数である.

【解】
$(1)$
$x^2 - x -1 = 0$ の正の解を $\phi$ とおく.

$\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{5} = \frac{\phi}{2}}$

から,

$\begin{align} \sin^2 \frac{\pi}{5} &= \frac{4-\phi^2}{4}\\ &= \frac{4-(\phi+1)}{4}\\ &= \frac{3-\phi}{4} \end{align}$

である. また,

$\begin{align} \cos \frac{2\pi}{5} &= \frac{1}{2\phi}\\ &= \frac{\phi - 1}{2} \end{align}$

から,

$\begin{align} \sin^2 \frac{2\pi}{5} &= \frac{4-(\phi-1) ^2}{4}\\ &= \frac{2+\phi}{4} \end{align}$

である. したがって,

$\displaystyle{ a+ b = \frac{5}{4}}$

$\begin{align} ab &= -\frac{(\phi-3)(\phi + 2)}{16}\\ &= -\frac{\phi^2- \phi -6}{16}\\ &= \frac{5}{16} \end{align}$

となり, 有理数で表せる.

$(2)$
$\displaystyle{ P(n) \\ =(a^{-n} + b^{-n})(a + b)^n\\ = \left(\frac{5}{4}\right)^n\frac{a^n + b^n}{(ab)^n}\\ =4^n(a^n + b^n) }$

$P(1) =5$
$\begin{align} P(2) &= 4^2\{(a+b)^2 - 2ab\}\\ &= 5^2 - 5\cdot2\\ &=15 \end{align}$

$n>2$ のとき,

$\displaystyle{ P(n) \\ = 4(a+b)\cdot4^{n-1}(a^{n-1}+b^{n-1})\\ - 4^{n}ab(a^{n-2} + b^{n-2})\\ = 5 \cdot4^{n-1}(a^{n-1}+b^{n-1}) \\-5\cdot4^{n-2}(a^{n-2}+b^{n-2}) \\= 5\{P(n-1) - P(n-2)\} }$

$P(n-1)$ , $P(n-2)$ に $n$ についての帰納法の仮定を使えば, $P(n)$ は整数なので, 題意は示される.
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※ クレジットカードの縦横比は, ほぼ $1: \phi$ の黄金長方形のものである. 黄金長方形にはいろいろな性質が知られており, たとえば下図のような関係もそのひとつである.

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※ 正 $5$ 角形は, 黄金比 $\phi$ に富んだ図形として知られている. $\angle BAC = \angle CAD = \angle DAE = \pi/5$ である. 正 $5$ 角形の $1$ 辺の長さを $1$ とし, 対角線の長さを $\phi$ とすれば, $AF = 1$ なので, $DF = \phi -1$ である. $\triangle ACD$ と $\triangle CDF$ が相似二等辺三角形であることより,