ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

数III積分

陥没地帯 (245)

同じく, 年東大理科の問題. 積分計算だけの問題はホッとする. すでに数 積分については解説済みなので, ここでは計算だけする. この問題は, つの計算の中にいろいろな側面が入っているので, 記事 の問題に続き, 積分計算練習問題セットの 問目だなあ. 【問】…

陥没地帯 (231)

何題か基本問題で練習してみる.【例題 1】 [解] したがって, //【例題 2】 [解] ()とおくと, したがって, //【例題 3】 [解] ()とおくと, //【例題 4】 [解] ()とおくと, したがって, //※ あるいは, から, 例題 3 の結果を使って //【例題 5】 [解] とおくと…

陥没地帯 (230)

高校数学の積分計算をすっきり行うための必要事項をすでに述べたことも含めて以下にまとめておく. 逆三角関数 , が全単射となるよう, として, 逆双曲線関数 , が全単射となるよう, として, 三角関数の倍角の公式 (次数下げ) 基本関数の微分 部分分数分解実数…

陥没地帯 (229)

積分計算で, 三角関数の積を和に変えることが必要になることがあるが, 三角関数の積和公式は覚える必要はないし, 必要でもないので, 導出するだけ時間の無駄である.前回の記事で双曲線関数がそうであったように, と は同値なのだから, 後は加法定理を知って…

陥没地帯 (228)

双曲線関数 , は, オイラーの公式と似ている,で定義された関数である. は,で定義される.である. これから,もすぐにわかる. 後は双曲線関数の加法定理,で, の符号が三角関数と違うことだけ覚えておけばよい. その他の公式は, 三角関数同様, すべてこれらから…

陥没地帯 (227)

逆関数の積分というのは, 次のようなからくりになっている.求める逆関数の積分をとする. で置換積分することを考える. すると, だから,であり, したがって,となる. これを部分積分すると,となる. (定積分で面積計算するときなど, この式が役立つことがある. …

陥没地帯 (226)

他のやり方はあるが, 根号の中が, の 次の分数式なので, とおいて解く (積分範囲は, から までに変わる). から, で置換して, したがって, //※ この積分は次のようにして, 部分積分により計算できる. 気づけばこちらの方が簡単である. //※ が全単射になるよう…

陥没地帯 (225)

三角関数の有理式を積分する場合に, とおくのは有名だが, 計算がやや煩雑になるなので最後の手段で使うべきである. 前の記事 でもそうだったが, まず置換積分ができないか検討するのは, よい方略だと思う.たとえば, 不定積分,のような場合,だから, となって,…

陥没地帯 (222)

最近, 長々と数 の積分計算のやり方を教えていたのだが, せいぜい つぐらい計算すれば, 高校数学範囲内で必要な積分の計算の仕方が全部説明できるような例題セットはないのかなあと感じた.そう思っていたら, ネット動画に次の積分を紹介している人がいて, こ…