ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (289)

高校数学初等幾何

$2021$ 年共通テスト, 数学 $1A$ の問題から. 三角形の不等関係は, 記事 $(191)$ 〜 $(193)$ 参照.

【問】
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【解】
$(1)$
$\displaystyle{ \sin A =\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac {4}{5}}$

$\begin{eqnarray} \triangle ABC &=& \frac{1}{2}bc\sin A \\&=& \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} \\&=& 12 \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \triangle AID &=& \frac{1}{2}bc\sin {(180^{\circ}-A)} \\&=& \frac{1}{2}bc\sin{A} \\&=& 12 \end{eqnarray}$

$(2)$
角 $A$ が鋭角のときは, $a^2 < b^2 + c^2$ , したがって, $S_1- S_2 -S_3 <0$

同様に, 角 $A$ が直角のときは, $a^2 = b^2 + c^2$ , したがって, $S_1- S_2 -S_3 = 0$

同様に, 角 $A$ が鈍角のときは, $a^2 > b^2 + c^2$ , したがって, $S_1- S_2 -S_3 > 0$

$(3)$
問 $(1)$ と同様にして,

$T_1 = T_2 = T_3 = \triangle ABC$

$(4)$
記事 $(193)$ の結果から, $ID > BC$ である. $\sin \angle IAD = \sin \angle BAC$ であるから, 正弦定理より, $\triangle AID$ の外接円の半径は, $\triangle ABC$ の外接円の半径よりも大きい.

同じように考えて, $\triangle ABC$ が鋭角三角形のときは, $\triangle ABC$ の外接円の半径がもっとも小さい. また, $\triangle ABC$ が, $\angle C > 90^{\circ}$ の鈍角三角形のときは, $\triangle CGH$ の外接円の半径がもっとも小さい.
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