この記事は, 前にも書いたことがある内容をただ言いかえているだけである.前田隆一の『新算数教育講座』第 3 巻 (1960) については, 最近の記事で紹介したが, 文章題に「観点変更」をもたらす数理的主題のひとつとして前田は「量を分けること」もあげている.…

前の記事の続き. 算数の文章題って, 答えを書くと文章が長くなってしまうんだが, 下のように書くと少しは見通しがよい気がする. 【問】A さんと B さんの所持金の比は 4 : 1 でしたが，2 人とも 600 円のおこづかいをもらって 2 人の所持金の比が 3 : 1 にな…

前の記事からの続きだが, 文章題の話ではないのでタイトルを改めた. 倍概念 (「量」に対する数の倍作用と言うべきものである) を使って分数を説明することもできる. 以下はその概略である.1) 単位分数n は (0 でない) 整数とする. 量 A が量 B の n 倍と同じ…

昭和 16 年に発行された國民學校初等科 (1・2年生) 向けの算數 (「算術」に代わって「算数」が初めて用いられた) 敎科書 『カズノホン』を少しだけ読んだ。図形教材に特徴があるといわれる 『カズノホン』だが、下にあげたのはそこではない。絵をまずみて文…

昭和三十年代前半の算数指導についての本を読んでいたら「文章題」——昭和 29 年頃からある言葉らしい——に子どもがどのようにつまずくのかが具体的な経験をもとに書かれていて、なおかつ例示も豊富で読み物としてもとても面白いものだった。他にも面白い部分…

大谷翔平の打率 を 割 厘 というのは, 打あたり安打が 打と考えるのが自然だからだろう.同じように百分率で表された割合は, 単位あたりで考える方が自然な気がする. たとえば, の食塩水は, あたり食塩が 含まれていると考えた方が自分にはとっつきやすい. こ…

小学生に「割合」とか「食塩水の濃度」とか「速さ」を教えていて, 噂に違わず習得に困難さがあるのだなあと感じた (だからといって「はじき (みはじ)」だの「くもわ」だのを教えるつもりは全くない). そもそも, 「長さ」と 「時間」のような異なる量同士を足…

今度、小学生に分数の割り算について聞かれたら、次のように説明してみよう。

年の入試問題である.【問】 【解】 ① 四角錐を点 , , を含む平面で切断して, 三角すい , の体積の和として求めればよいが, どちらも同じ体積なので, 片方の体積のみ求めて 倍すればよい. 答えは ② 求めるものは四角すい の体積である. 同じようにして, 三角…

どのくらいの時間で自分は 桁 × 桁の乗算を暗算できているのか, 調べてみたくなって Ninimaths というアプリを使って寝起きでない時間に測ってみたら平均 15 秒前後だった. 計算の訓練はしておらず, 計算の工夫だけなのでこんなものだろう. 結局わかったこと…

計算の適用範囲を更にひろげるために, 前回の つの基本パターンをもう少し拡張しておこう. といっても大した話しではなく, 「二つの数字の和が になる」の の部分に と の場合も加えるだけである. ただし, と の場合は, 残り つの同じ数字が偶数であることが…

ここでは, もっと実用的な側面で考察する. ここで述べる方法を使用すると, 詳しくは数えあげていないが, 過半数の二桁×二桁のかけ算を簡略にできる (暗算向き).まず, 基本知識として以下の つをあげる.1) のように の位の数字が同じで, の位の数字の和が に…

のように の位の数字が同じで, の位の数字の和が になる場合は簡単に計算ができた. これは, 計算結果の の位が, と簡単になる (キリがよくなる) からである. そうすると, のように の位の数字が同じで, の位の数字の和が にならない場合は, なので, として, …

大きな数のかけ算は, 基本的に筆算などしないことにしているが, 計算機科学のカラツバ法はときどき遊びでやってみることがある.たとえば, を計算するのにしたがって,かけ算の結果を使いまわして, かけ算を 回だけ実行すれば良いのがポイントなのだ. これくら…

比喩でもなんでもなく, 文字通り人は人生で何回かけ算をする必要に迫られるのか知らないが, 特定の人にとってはかなりの回数に上ることは事実だろう. 二桁以上のかけ算は技術用語で「積和演算」といって重たい部類の計算として知られている.算数では「計算の…

灘中の入試問題だったと思う.35 も 3890 も 5 で割り切れ, 66 は 5 で割ると 1 あまるから, かきの個数は 5 で割り切れる. そこで, かきの個数を ⑤ とおく.66 × ⑤ = 66 × 5 × ① = 330 × ①35 は 7 で割り切れ, 3890 は3890 = 3500 + 350 + 35 + 5だから, 7 で…

前の記事のちょっとした補足である。つるかめ算の解き方が、「全部つるだとすると」「全部かめだとすると」式で、なぜ「つるもかめも足が 2 本だとすると」「つるもかめも足が 4 本だとすると」と仮定しないのかが不思議だった。昭和初期 (1929) の算数の本…

いろいろヴァリエーションがあって面白いなあ. つるかめ算は表を使って関数的な説明をするのがやはりわかりよいようだ (というか応用範囲が広い). 個人的には「全部つるだとすると」「全部かめだとすると」式よりも、代数に慣れているせいか「つるもかめも足…

最近改めて気がついたのだが、九九の七の段を頭の中で、たとえば「ヒチシニジュウハチ」と言っている。こんなところに西日本で教育を受けた痕跡がまだ残っていたのだと感動してしまった。七の段の九九が怪しい子が多いと感じるのは、もしかして「シチシニジ…

今度は前にやった問題を含めてなるべく分数を使って解いてみる. 大正時代の本を読んでいたら 『未知数を一とせぬ分数の新しい解き方』という本があって, たしかに初めての人はなぜ とおくのか疑問に思うかもしれない, もっともだなあと思った.「未知数を 」…

『女は女である』(1961) と『ワン・プラス・ワン』(1968) を見た。『女は女である』(1961) を見ると山田宏一の名著『友よ映画よ』(1978) を読み返さずにはいられない。そうだった、『恋人のいる時間』の主演は最終的にはマーシャ・メリルとなったが、もとも…

小学 5 年生にマルイチ算を教えたら,「スーパーサイヤ人になったみたいだ」と感謝された. そんなに喜んでもらえて恐縮の至りである.算数の問題は「比」を多用して解くものが多いが, これが分数だと 1/2 は 2 倍すると 1 になる数のことだし, 1/3 は 3 倍する…

塾で高校生に三角関数を教えていたら、倍角とか半角の公式が覚えられないといってきたので、少しびっくりして「なんで覚える必要があるの？」と思わず聞き返してしまった。それで思い出したんだが、昔、受験参考書かなんだったか、は覚えておこうとかあって…

ときどき、塾で算数を小学生に教えることがあるが、算数の考え方は面白いものが多いなあ。前にも書いたけど、特殊算とかいわれているもの (別に特殊でもなんでもないが……) は比の活用が巧みなものが多い。中学の数学になるとこの柔軟さは失われ機械的になっ…

小学校の算数も教えることになりそうなのでいろいろと問題をみていたら、「比」というのをうまく使うことが算数では必要なケースが多いということがわかった。たとえば、「逆比」の考え方を使えば以前の記事 (6・13) で紹介した神奈川県公立高校の2019年入試…