下の図で, 平面 と直線
は垂直であるということをベクトルや座標を使わずに, 証明してみる.
つの異なる平面が異なる
点を共有していれば, その
つの平面は, その
点を通る直線を交線として含む. いま点
と
を考え, その
つの点を共に含む平面の中に,
と
がある. 感覚として受け入れることができようができまいが, 線分
はこの
つの平面の交線である.
直線が平面と垂直であることを証明するには, その直線が平面に含まれる つの直線と垂直であることを示せばよい.
線分 と
は, 正方形の対角線同士だから, 直交している.
と
は垂直である. なぜなら,
は,
と
にそれぞれ垂直なので,
は平面
に垂直で,
は平面
に含まれているからである. 以上から,
は, 平面
と垂直である.
同様に, 線分 と
は, 正方形の対角線同士だから, 直交している.
と
は垂直である. なぜなら,
は,
と
にそれぞれ垂直なので,
は平面
に垂直で,
は平面
に含まれているからである. 以上から,
は, 平面
と垂直である.
以上のことから, は
と
にそれぞれ垂直なので,
は,
と
を含む平面
と垂直である. //
※ ,
,
は, 合同な直角三角形であるから,
である.
は正三角形であるから,
は正三角形の外心, 内心, 重心, 垂心である. //