陥没地帯 (224)

下の図で, 平面 と直線 は垂直であるということをベクトルや座標を使わずに, 証明してみる.

つの異なる平面が異なる 点を共有していれば, その つの平面は, その 点を通る直線を交線として含む. いま点 と を考え, その つの点を共に含む平面の中に, と がある. 感覚として受け入れることができようができまいが, 線分 はこの つの平面の交線である.

直線が平面と垂直であることを証明するには, その直線が平面に含まれる つの直線と垂直であることを示せばよい.

線分 と は, 正方形の対角線同士だから, 直交している. と は垂直である. なぜなら, は, と にそれぞれ垂直なので, は平面 に垂直で, は平面 に含まれているからである. 以上から, は, 平面 と垂直である.

同様に, 線分 と は, 正方形の対角線同士だから, 直交している. と は垂直である. なぜなら, は, と にそれぞれ垂直なので, は平面 に垂直で, は平面 に含まれているからである. 以上から, は, 平面 と垂直である.

以上のことから, は と にそれぞれ垂直なので, は, と を含む平面 と垂直である. //

※ , , は, 合同な直角三角形であるから, である. は正三角形であるから, は正三角形の外心, 内心, 重心, 垂心である. //