ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (210)

初等幾何

以前, 反転を使ってトレミーの定理を証明したが, もう少し簡単な証明にする.

準備として, 下図で,

OA \cdot OA' = OB \cdot OB' ( = k^2)

から,

\displaystyle{\frac{OA}{OB} = \frac{OB'}{OA'}}

で, 角度を共有するので, \triangle AOB と B'OA' は相似である. したがって,

\displaystyle {\begin{align} \frac{A'B'}{AB} &= \frac{OA'}{OB} \\ A'B' &= \frac{OA'}{OB}\cdot AB\end{align}}

であるが, OA'\cdot OA = k^2 なので,

\displaystyle { A'B' = \frac{k^2AB}{OA\cdot OB}}

となる.//

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上で求めた結果を使ってトレミーの定理を証明する.

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B'C' + C'D' = B'D'

だから,

\displaystyle { \frac{k^2BC}{AB\cdot AC}+ \frac{k^2CD}{AC\cdot AD} =\frac{k^2BD}{AB\cdot AD} }

両辺に AB\cdot AC \cdot AD をかけて,

BC \cdot AD + AB \cdot CD = AC \cdot BD

を得る.//

別の話題. 和算の公式に直角三角形の内接円の半径を与えるものがある. 下図で,

AB = c, BC = a, CA = b

とし, 内接円の半径を r とすると,

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\displaystyle{ \frac{1}{2}(a+b+c)r = \frac {1}{2}ab}

から,

\displaystyle{\begin{align} r &= \frac{ab}{a+b+c}\\ &= \frac{ab(a+ b -c)}{(a+b+c)(a+b-c)}\\ &= \frac{ab(a+b-c)}{(a+b)^2 - c^2}\\ &= \frac{a+b-c}{2} \end{align}}

最後はピタゴラスの定理を使えばよい.//

もうひとつ別の話題. 与えられた三角形に内接する正方形を作図するひとつの手段として, 相似変換を利用するものがある. 任意の正方形 DEFG を作図しておいて, BG を延長して, AC との交点 H を求めるとよい.

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以前のこの図の大円でも,

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同じような考え方で作図できる.//

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