ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (291)

共通テスト, 数 から.【問】 【解】 から,したがって, について恒等的に成り立ち, より,, したがって, したがって, 公比が よりも大きい等比数列である.したがって, が条件をみたす等比数列であるためには, で つまり, かつ したがって, をみたすことが必要…

陥没地帯 (290)

年共通テスト, 数学 から. 黄金比 (この問題では ) を使って計算を効率よくやることについては, 記事 で触れておいた.【問】【解】 また,したがって,つまり, したがって, 四角形 は正方形である. //

陥没地帯 (289)

年共通テスト, 数学 の問題から. 三角形の不等関係は, 記事 〜 参照.【問】 【解】 角 が鋭角のときは, , したがって, 同様に, 角 が直角のときは, , したがって, 同様に, 角 が鈍角のときは, , したがって, 問 と同様にして, 記事 の結果から, である. であ…

陥没地帯 (288)

年共通テスト, 数学 の問題から. 条件付き確率の問題はかなりやったので, 計算間違いさえしないよう気をつければ, これぐらいはすらすら解けると思う. 異常なまでに, つまらない問題である. 問題文ばかりが徒らに長くなるところなんか, まるで大画面化に走っ…

陥没地帯 (287)

年共通テスト, 数学 の問題から. 直角三角形の外心が斜辺の中心にあるということがわかっていなければ話にならないが, 直角三角形でなくても成り立つ と の相似というのも, 幾何ではお馴染の事実で, すでに何度も使ってきた *1. したがって, 考えたり, その…

陥没地帯 (286)

年共通テスト, 数学 から. 長い問題文によって訳の分からない誘導をされている内に, 考え方の柔軟性が失われてがんじがらめとなり, 普通に考えれば, 合同式を使って解けばよいだけの難易度のない問のはずが, そう解かない面倒なやり方へと誘われてしまう悪問…

陥没地帯 (285)

センター試験 数学 の問題.【問】 【解】 もちろん, チェバ・メネラウスの両定理を使って求めてもよいけれど, 天秤法 *1 だとあっけない (解答時間 分未満). つまり, と には重さ の錘, には重さ の錘を置けばよい. と の錘の釣り合いから, には, の重さがか…

陥没地帯 (284)

センター試験の過去問題から, もう 問, 年の図形問題をやってみることにした. 設問の中の の長さがわからないで, そのまま沈没した受験生が多かったとあるが, それは何かの世迷いごとで, まさかなあと思ってしまう. ※ なお, 記事 には, 年センター試験の図形…

陥没地帯 (283)

散歩していたら, 菊の展示をやっていたので, ちょっと覗いたら, 肥後菊があった. 伊勢菊もあったけれど, 花の状態は少しよくなかった. 年, センター試験の数学 は平均点が例年の中でもっとも低いので, 難易度が高いとされる問題をやってみた. 最初の問は図形…

陥没地帯 (282)

塾で小学校 年生に俳句を作ってもらった. 俳句を作るのは生まれて初めてらしい. 清らかに パックに並ぶ 秋たまご 群数列をやっておこう. 練習しておかないと意外と手間どることがある. お茶の水女子大の 年入試問題.【問 】 【解】 実際に書き出してみると,,…

陥没地帯 (281)

条件付き確率の有名問題をいくつか, 簡単に確認して条件付き確率に関する記事はいったん終えよう. 最初は, モンティ・ホール問題. すでによく知られた問題をさらにあれこれと詮索する趣味はない *1 ので, 得られる結果のみ書く. その他の問題も, みな同じや…

陥没地帯 (280)

年の旭川医科大学の問題. 定番だが一応やっておく.【問】【解】 悪性の疑い 良性の疑い 異常所見なし 検査陽性 検査陰性とすると,が, 事前確率である. さらに, である. ここで,したがって, ここで,したがって, ここで,したがって,である. ※ //

陥没地帯 (279)

事前確率として, どのような確率分布が採用されるかが設問に定義されていない場合には, 事前確率をどのように考えるかによって, 異なる条件付き確率がえられることになる. 【問 】 壷の中には つしか球が含まれておらず, それぞれの球の色は白か黒である. こ…

陥没地帯 (278)

早稲田大学の 年の入試問題だが, いまだにあちらこちらでよく取り上げられている. 条件付き確率の秀逸な例題であり, また忘れ物をした場合には, 最初に訪れた場所から確認していくのが合理的な行動であることを教えてくれる問題でもある (どこから探しても, …

陥没地帯 (277)

年, 東大理科の問題. 問題を解くより, でどうやって遷移図を描くのか調べる方がはるかに時間がかかった.【問】 【解】 明らかに が偶数の場合しか終状態に到達しえないので, を偶数とし, 回目で, 終状態 または に到達する確率を とする. また, 回目で状態 …

陥没地帯 (276)

年の一橋大の問題. 組合せの数 というのは, もちろん 個の要素をもつ集合において 個の要素をもつ部分集合の個数のことをいう. また, は, 個の要素をもつ集合 から, 個の要素をもつ集合 (要素の間に全順序が定められているとする) への狭義増加関数 (真に増…

陥没地帯 (275)

疲れたので, とても簡単な問題にする. 年の京大, 文理共通問題. 「知恵の輪熊」を読んで癒される.「知恵の輪熊」の可愛らしさは誰にもわかるまい|些事にこだわり|蓮實 重彦|webちくま【問】 から までの自然数を 列に並べる. どの並べかたも同様の確から…

陥没地帯 (274)

年度はわからないが, 名古屋市大の問題らしい. 長い問題文だが, 個の要素をもつ集合 から 個の要素をもつ集合 への全射写像の個数を求める問題である. 全射なのだから という条件がある. ディユドネが, 「現代数学では, 写像を つのモノと考えることが基本的…

陥没地帯 (273)

散歩道にいつも見ているのとは別のイイギリがあることに初めて気がついた. どうして, いままで気がつかなかったんだろう.前回の問題は, 実際に練習しないとなかなかコツや本当のところがわからない. のスターリング数は高校では教えないと思うんだが, 入試問…

陥没地帯 (272)

年, 東大理科後期の問題. 基本的なことを考察させる問題なので, とりあげることにした. 問 は重複順列, 問 は重複組合せ, 問 は, (第 種) スターリング数, 問 は自然数の分割に関連している問である.【問】 【解】 積の法則から 通り. ボールに区別がなく, …

陥没地帯 (271)

年京大理系後期の問題. 重複組合せを使って, 最小限の場合分けで, すっきり解く.【問】 【解】次の 通りの場合分けをすればよい.イ) ロ) イ) の場合:記事 と同様にして, の組の個数を求めることは, , , , , の の整数解の組の個数を求めることと同じである. …

陥没地帯 (270)

記事 がきっかけで, メナージュの問題 *1について書いている. 直前の記事を使って, 記事 の入試問題における大人 人, 子ども 人のときの子どもの配置の仕方は, 通りであることを示す. 証明は, 高校数学でも場合の数のところで必ず習う, 集合の包除原理を使っ…

陥没地帯 (269)

前の記事からの流れでメナージュの問題関連について考察する.まず, この記事では, 重複組合せについて重要な基本を復習しておくことにする., を正の整数としたときに, 未知数 に関する方程式,の負でない整数解の個数は, 重複組合せにより,となる. これから, …

陥没地帯 (268)

年宮崎大の問題. それぞれの場合分けごとに, 繊細な差異が生じていることに気がついて, 楽しめる一題. 撹乱順列 (完全順列 / モンモールの問題) よりもさらに条件が複雑である.※ この問題は, その後, Ménage numbers and ladies-first solutions そのもので,…

陥没地帯 (267)

数え上げの問題で「全単射による証明」を目にするたびに, 「賛嘆措く能わず」という気分になるのだが, この証明について, 初等的にきちんと解説したものはあまり見受けられないのではないかと思う. 英語版の Wikipedia の “bijective proof” の項はよくまと…

陥没地帯 (266)

数学検定 級の 次の問題を塾でやっていたら, 【問】 において の 等分線と辺 との交点を とするとき, を証明しなさい. //という問題があった. これは, 記事 ですでに証明済みで,円 に内接する の の二等分線が、辺 と交わる点を , 円周と交わる点を とすると…

陥没地帯 (265)

年横浜市大の問題. 巨大な整数 (合成数) *1の素因数分解は, 現時点で実用化されている手段では非常に困難であるということにもとづいた 暗号 *2 に関して, もし, トーシェント関数の値 を知ることができたら, 公開されている を素因数分解することは容易であ…

陥没地帯 (264)

オイラーのトーシェント (ファイ) 関数で, が成り立つことを高校数学範囲で証明してみた. とか の値を求めよなんていう入試問題があったが, はともかく, を集合の包除を使って数え上げるのは時間の無駄にしか思えない. 【問】 正の整数 , について, , が互い…

陥没地帯 (263)

年京大文系の問題. そんなに難しい問題ではない. 【問】 【解】 法 で考える. のときは明らか. のときは, と は互いに素なので, フェルマーの小定理により, がいえる. 問 の結果から の範囲で考えればよい. 再び法 で考えれば, に注意して,である. から, は…

陥没地帯 (262)

年大阪教育大学の問題. 最近の記事のちょっとした練習問題. 直前の記事の最後の方につけたのは, 基本的にはカルダノの解法であるが最後は三角関数で解を表している. カルダノ解法のような有限回の純粋な代数手続きにおいて, 次方程式が有理数で既約で, すべ…