ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (256)

年の横浜国大の相加・相乗平均の不等式の証明についての問題だが, ここで使われている数学的帰納法の型が面白い. まず問 と問 によって, ( は自然数) で正しいことを示し, さらに問 で, その前の自然数でも正しいことを示すことで, 命題を証明している. 相加…

陥没地帯 (255)

年の東大文科の問題. 前の理科と同じ 番の問題で, こちらは 次方程式の問題である. の誘導の意図がわからないうちは, 立方完成 (チルンハウゼン変換) なんかしないで, まっとうに解く方が良さそうで, そうすれば, 実際に素直に解けてしまう問題である. が (…

陥没地帯 (254)

難問揃いで知られる 年の東大理科の問題のひとつ. 眠いし, かなり難易度高いので, まず問 だけやった. も普通に解こうとするとすごいことになりそうなので, 記事 の平均変化率の方法を活用して解くことを考えた.※ 問 もその後, 解いたので, この記事に追記す…

陥没地帯 (253)

ちょっと古いんだけど, 年の東大文理共通問題. 証明を書くまでに実験が必要.【問】 【解】 実験により, と仮説をたてたので, これが正しいことを以下のように証明する.なお, 以下に用いる合同式はすべて法 で考える.必要条件: ならば, , , となって, に の倍…

陥没地帯 (252)

ファインマンの経路積分は難しいけれども, ファインマンの微分は, 大学入試問題にも使える. 年の大阪大学理系の問題から.【問】 【解】 のとき, だから, である. 対数関数は単調増加だから, のとき, , のとき, である. したがって, は, で最大値 をとる.と表…

陥没地帯 (251)

年の東大理科の問題. これも記事 同様, 問 の不等式を問 でどう使うのかという問題. ただ, の不等式よりは, まだ人間的というか, 類推できる形をしていると思う.問 では, の正負で場合分けしたくないがために ではなく, をかけたのが大失敗で, 階微分まで計…

陥没地帯 (250)

記事 の問題 ( 年東大) の問題を前回の二項定理を使った方法で解き直す. 前のよりはだいぶすっきりしたなあ. 念のため, 基本定理の証明を最初にしておく.【基本定理】 標数 の素体 *1 の任意の要素 , について,が成立する。【証明】 左辺を二項定理で展開し…

陥没地帯 (249)

あっという間に解けてしまってつまらなかった京大 (2003年), 東大 (2015 年) の問題. 最初の京大の問題の類題は昨年の大学入試でも他の大学から出題されているので, いまや定番問題といえる. 今年の西暦を使った整数問題も定番である. 今年は, であったので,…

陥没地帯 (248)

組立除法は要らないとか, 一応知っているだけという人がいるかもしれないので, あえて書くのだが, そういう人って, もしかしたら,とか与えられていて, を求めるときに,を計算して, と出しているのかもしれない. 組立除法を使えば,となって, こちらの方が早い…

陥没地帯 (247)

年東大理科の問題. この問題は、直前の記事 に出てきた, が並ぶ数字, つまりレプユニット数に関する問題である. (素数であるレプユニット数は, 現在まで 個以下しか見つかっていないにもかかわらず, 無限にあると予想されており, これは未解決問題である.) …