陥没地帯 (204) - ノリの悪い日記

作図の練習中. なるべく簡単なものからと思い正三角形に円を内接させてみた. これは簡単で, 正三角形の内心を求めて, $3$ つできる三角形から内心をまたそれぞれ求めれば, すぐに作図できる.

この図に後 $3$ つ同じ円が入る.

円に内接する円を描くのも, そんなに難しくない.「三つ巴」というのは, こんな形のことを言うのであろうか？

$6$ 個内接させると, 真ん中にすっぽり, 同じ円が入る.

同一直線上にない $A$ , $B$ , $C$ の $3$ 点を通る円を書くには, $\triangle ABC$ の外心を求めればよく, そのために各辺の垂直 $2$ 等分線を引けばよい. その垂直 $2$ 等分線と外接円の交点を $E$ , $F$ , $G$ とし、 $EA$ , $FB$ , $GC$ を半径とする $3$ つの円を描くと, その $3$ つの円の交点は, $\triangle ABC$ の内心となる.

なぜなら, $E$ , $F$ , $G$ はそれぞれ, 外接円の弧 $AB$ , 弧 $BC$ , 弧 $CA$ を $2$ 等分する点であり, $EC$ , $FA$ , $GB$ は, それぞれ $\angle C$ , $\angle A$ , $\angle B$ の $2$ 等分線である. 内心を $I$ とすると, $\angle AIE$ は外接円の弧 $AE$ と弧 $FC$ のそれぞれの円周角の和に等しいが, 弧 $AE$ の円周角は $\angle EBA= \angle EAB$ であり, 弧 $FC$ の円周角は,

$\displaystyle{\frac{1}{2}\angle A}$

に等しい. つまり,

$\displaystyle{ \angle AIE = \angle EAB +\frac{1}{2}\angle A}$

である. したがって,

$\angle AIE = \angle EAI$

ゆえに, $EA = EI$ である. 同様にして, $FB= FI$ , $GC=GI$ がいえるので, 内心 $I$ と $3$ つの円の交点は一致する.//

※ $I$ は, $E$ , $F$ , $G$ を中心とする $3$ つの円の「根心」(一直線上にない $3$ つの円を二つずつとったときにできる $3$ 本の根軸の共点のこと) でもある.//

マルファッティの円も見よう見真似で描いてみたが、難しくてよくわからない。ただ、三角形の「 $2$ 辺」と他の $2$ つの円に接しているというのは, さすがに見ればわかる. 円は同じ大きさではない. 日本でも安島直円の「三斜三円術」として知られており、下の $3$ 直線の共点は, “the first Ajima-Malfatti point” として知られている.