ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (204)

作図の練習中. なるべく簡単なものからと思い正三角形に円を内接させてみた. これは簡単で, 正三角形の内心を求めて, 3 つできる三角形から内心をまたそれぞれ求めれば, すぐに作図できる.

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この図に後 3 つ同じ円が入るのは, 納得.
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円に内接する円を描くのも, そんなに難しくない.「三つ巴」というのは, こんな形のことを言うのであろうか?
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6 個内接させると, 真ん中にすっぽり, 同じ円が入る.
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同一直線上にない  A, B, C3 点を通る円を書くには,  \triangle ABC の外心を求めればよく, そのために各辺の垂直 2 等分線を引けばよい. その垂直 2 等分線と外接円の交点を  E, F, G とし、 EA,  FB,  GC を半径とする 3 つの円を描くと, その 3 つの円の交点は,  \triangle ABC の内心となる.

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なぜなら,  E, F,  G はそれぞれ, 外接円の弧 AB, 弧 BC, 弧  CA2 等分する点であり,  EC, FA,  GB は, それぞれ  \angle C,  \angle A,  \angle B2 等分線である. 内心を  I とすると,  \angle AIE は外接円の弧  AE と弧 FC のそれぞれの円周角の和に等しいが, 弧 AE の円周角は \angle EBA= \angle EAB であり, 弧  FC の円周角は,

 \displaystyle{\frac{1}{2}\angle A}

に等しい. つまり,

 \displaystyle{  \angle AIE = \angle EAB +\frac{1}{2}\angle A}

である. したがって,

 \angle AIE = \angle EAI

ゆえに,  EA = EI である. 同様にして,  FB= FI,  GC=GI がいえるので, 内心  I3 つの円の交点は一致する.//

 I は,  E, F,  G を中心とする 3 つの円の「根心」(一直線上にない  3 つの円を二つずつとったときにできる  3 本の根軸の共点のこと) でもある.//

マルファッティの円も見よう見真似で描いてみたが、難しくてよくわからない。ただ、三角形の「2 辺」と他の 2 つの円に接しているというのは, さすがに見ればわかる. 円は同じ大きさではない. 日本でも安島直円の「三斜三円術」として知られており、下の 3 直線の共点は, “the first Ajima-Malfatti point” として知られている.

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