Overleaf を使わせてもらって, テキストを作るのに忙しかったのでブログは暫くお休みしていた.
記事 () を書いてから, その後を書いていなかった. 記事 (
) では以下の証明まで終わっている.
の内心を
とする. また
の外接円の半径を
, 内接円の半径を
とする.
の延長が, 外接円の周と交わる点を
とすれば,
である.
外心を とすると, 方べきの定理から,
となって, いわゆるオイラー・チャップルの定理が得られる.
オイラー・チャップルの定理から, が成りたつこともすぐにわかる. 等号が成立するのは,
のとき, すなわち三角形が正三角形となるときである. もっとも, この不等関係は, 前の記事から,
点円とは, 三角形の各辺の中点を結んだ三角形の外接円で, その半径は,
だったことからすでにわかっていたことである. つまり, もとの三角形の
辺と交わる円は, 明らかに内接円の半径より大きいので,
である.
ポンスレの閉形定理は以下のようになる.
円
,
があるとき, 円
に内接し, 円
に外接する三角形が
つあれば, このような三角形は無数にある.
円 の周上の任意の点を
とする. 直線
が円
の周と交わるもうひとつの点を
とする.
を中心として, 半径
の円が, 円
の周と交わる点を
,
とする.
は明らかに
の
等分線である.
だから, は
の
等分線である.
したがって, は,
の内心でもある.
の内接円の半径を
とすると, オイラー・チャップルの定理から,
となるが,
でもあるので, 結局,
である. は円
の円周上の任意の点であるから, このような三角形は無数にある. //