数 1A の共通テスト問題 (2022 年) の整数解の問題は, 素直に誘導に乗る場合の解を記載していなかったので, ここに一応あげておく. (他の大問も皆そうだが, 小問に順番に答えてゆく過程での「単線的」ともいえる反復構造がこの年の共通テストの大きな特徴で…

年横浜市大の問題. 巨大な整数 (合成数) *1の素因数分解は, 現時点で実用化されている手段では非常に困難であるということにもとづいた 暗号 *2 に関して, もし, トーシェント関数の値 を知ることができたら, 公開されている を素因数分解することは容易であ…

オイラーのトーシェント (ファイ) 関数で, が成り立つことを高校数学範囲で証明してみた. とか の値を求めよなんていう入試問題があったが, はともかく, を集合の包除を使って数え上げるのは時間の無駄にしか思えない. 【問】 正の整数 , について, , が互い…

年京大文系の問題. そんなに難しい問題ではない. 【問】 【解】 法 で考える. のときは明らか. のときは, と は互いに素なので, フェルマーの小定理により, がいえる. 問 の結果から の範囲で考えればよい. 再び法 で考えれば, に注意して,である. から, は…

前の記事の相加相乗平均の証明は, もともとはコーシーによるものだそうだが, この数学的帰納法の証明型, “Forward-Backward Induction” *1 を使って, すでに記事 で一度解いたことのある 年京大理系の難問を見直してみる. というのも, “Forward-Backward Ind…

ちょっと古いんだけど, 年の東大文理共通問題. 証明を書くまでに実験が必要.【問】 【解】 実験により, と仮説をたてたので, これが正しいことを以下のように証明する.なお, 以下に用いる合同式はすべて法 で考える.必要条件: ならば, , , となって, に の倍…

記事 の問題 ( 年東大) の問題を前回の二項定理を使った方法で解き直す. 前のよりはだいぶすっきりしたなあ. 念のため, 基本定理の証明を最初にしておく.【基本定理】 標数 の素体 *1 の任意の要素 , について,が成立する。【証明】 左辺を二項定理で展開し…

あっという間に解けてしまってつまらなかった京大 (2003年), 東大 (2015 年) の問題. 最初の京大の問題の類題は昨年の大学入試でも他の大学から出題されているので, いまや定番問題といえる. 今年の西暦を使った整数問題も定番である. 今年は, であったので,…

年東大理科の問題. この問題は、直前の記事 に出てきた, が並ぶ数字, つまりレプユニット数に関する問題である. (素数であるレプユニット数は, 現在まで 個以下しか見つかっていないにもかかわらず, 無限にあると予想されており, これは未解決問題である.) …

年東大理科. 容易に設問の意図がつかめず, 誘導であるはずの の不等式をどう使うのか, あれこれ悩まされる問題となっている. まず, この問題をやる前に, 次のことを理解するとよいかもしれない (余計わからなくなるかもしれないが……).たとえば, , の計算を同…

年東大理科の問題. 問題文が短くてよいし, さして難しくない. (ピタゴラス数とか知っていれば, 法 で考えることはすぐに思いつく.)【問】 を 以上の整数とする. と の最大公約数 を求めよ. は整数の 乗にならないことを示せ.【解】 だが, は法 で または に…

次方程式の整数解を求めるやり方として, 共通テストで出題されるような簡単な問題は, 合同式で求めた方が早いと思うが, そうでない場合は, 連分数で求めることにしている. 不定方程式 の整数解 (特殊解) を見つけたかったら, を連分数展開して, の直前の近似…

ずっと前 *1 に, 次の問題 ( 年東大文理共通) をやったことがあるけれども, 別解に気がついた. この問題は, フィボナッチ数列に関係している.【問】 は正の整数とする。 を で割った余りを とおく。 数列 は を満たすことを示せ。 に対して、 は ともに正の…

年の京大理系の問題.【問】 与えられた自然数 に対し, 数列 を , によって定める. ただし実数 に対し, は を超えない最大の整数を表す. および のとき, 数列 を求めよ. すべての自然数 に対し, 次の つの不等式 , が成り立つことを示せ. ならば, 以上のすべ…

過去の入試問題から. 解いてから, すでに以前の記事で紹介済みであることに気がついた. 【問】 整数 に対し とおき, と定める. ただし, は虚数単位を表す. このとき, が任意の に対して成り立つような正の整数 をすべて求めよ.【解】 は, 任意の について整…

気分を変えて, 過去の大学入試問題から.【問】 , は自然数で は定数とする. 平面上の点 を頂点とし, 原点と点 を通る放物線を考える. この放物線と 軸で囲まれる領域の面積を , この領域の内部および境界線上にある格子点の数を とする. このとき極限値を求…

ある人が学ぶことが, どんどん貧しくなっている下のような具体例を挙げてくれていて, なるほどなと思った.その人は, 自分だったら「連続した つの偶数の積は, の倍数であることを証明せよ」とノーヒントで出すとも言っているが, この発言にも共感できる. 自…

図形ばかり続いたので, たまには, 整数をやる. 京大の2010年.【問】次の問に答えよ. を正の整数, とする. は, で割り切れるが, では割り切れないことを示せ. を正の偶数とする. が で割り切れるならば または, であることを示せ.【解】 は, 数学的帰納法で証…

高校の物理をものすごく久しぶりにひととおりやって懐かしかった。高校物理の範囲だとアプリオリに認めなければいけないことがいくつかあるなあ。たとえば、屈折率の小さい方から大きい方に向かう光が境界面で反射するときには位相が ずれるというようなこと…

中学 3 年の理科で星 (恒星)や太陽を地球から見たときの動き方を習うが、大人になってさえ基本的な動き方を理解していない人が多いのはなぜだろうと考えた。自分が思うに、太陽を除く恒星の見かけの動きと太陽の見かけの動きの違いが不十分にしか理解されて…

バラ。ウイリー沖山さんが亡くなられたことを知って『山の人気者』を聞いた。ウィリー沖山 アルペン・ミルクマン 1959 / Alpine Milkman中野忠晴とコロムビア リズムボーイズ - 山の人氣者【問】 を素数、 を互いに素な正の整数とするとき、は、実数でないこ…

オミナエシ。秋の七草のひとつだが、こんな頃からもう咲き始めるんだなあ。これは自生しているものだと信じたいが、もうこの辺の山野で自生している姿を普通に見かけるのは難しいのではないかと思う。ユリ。コムラサキ。ハゼラン。モモイロカイウ。まだ色が…

フウセントウワタの実。道端で見つけた。花はこんなである。ヒャクジツコウ (百日紅)。木肌からサルスベリともいわれるが、夏椿なんかも同じような木肌をしているので、やはりサルスベリと呼ばれることがある。ハナウリクサ (トレニア)。ハナウリは「花売り…

グラジオラス。ヤマモモの実。ゲラニウム。ヤグルマカッコウ。タイマツバナ、ヤグルマハッカ、ベルガモット、ビーバーム、モナルダなどとそれぞれ好きなように呼んでいるなあ。スイレン。八重のムクゲ (木槿)。槿花と書くとキンカと読む。なお槿花は朝顔を指…

サクユリ。伊豆半島と伊豆諸島に自生する、原種としては世界最大の百合。ヤマユリ。日本を代表する花のひとつだと思うんだが、最近あまり見かけなくなった気がする。 ユリ。【問】 を素数、 を正の整数とするとき, は で何回割り切れるか。【解】 の内、素数…

ヤブミョウガ。タマアジサイの蕾がだいぶ大きくなってきた。コマツヨイグサ。 【問】 のすべての約数の個数、和、積を求めよ。【解】 だから、約数すべての個数は約数すべての和は、約数すべての積は、約数を とすれば、から、なので、 //

ホンアマリリス。ヒメオウギスイセン。 【問】 と を互いに素、すなわち 以外の公約数をもたない正の整数とし、さらに は奇数とする。正の整数 に対して整数 , をを満たすように定めるとき、次の を示せ。ただし、 が無理数であることは証明なしに用いてよい…

ペンステモン。ヤブカンゾウかなあ。【問】 を自然数とする。 を とおくとき、 をみたす整数 について、二項係数 は偶数であることを示せ。 以下の条件をみたす自然数 をすべて求めよ。条件: をみたすすべての整数 について二項係数 は奇数である。 【解】 …

クチナシ。ツユクサ。ムクゲ。ノウゼンカズラ。コンロンカ (崑崙花)。 ヤナギバルイラソウ。【問 1】自然数 に対し、 個の二項係数を考え、これらすべての最大公約数を とする。すなわち、 はこれらすべてを割り切る最大の自然数である。 が素数ならば、 で…

シオカラトンボのメスで、俗にムギワラトンボである。アジサイ (アナベル)。【問】 次方程式 の つの実数解のうち大きいものを , 小さいものを とする。 に対しとおく。 を求めよ。また, に対し, を と で表せ。 以下の最大の整数を求めよ。 以下の最大の整…