ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (290)

 2021 年共通テスト, 数学  2B から. 黄金比 (この問題では a) を使って計算を効率よくやることについては, 記事 (235) で触れておいた.

【問】

f:id:noriharu-katakura:20211127134352j:plainf:id:noriharu-katakura:20211127134357j:plainf:id:noriharu-katakura:20211127134400j:plainf:id:noriharu-katakura:20211127134402j:plain

【解】
(1)
 \angle A_1C_1B_1 = 36^{\circ}

 \begin{eqnarray} \overrightarrow{B_1B_2}&=& \frac{1}{a}\overrightarrow{A_1A_2}
\\&=& \frac{1}{a}\left(\overrightarrow{OA_2}-\overrightarrow{OA_1}\right)
\end{eqnarray}

また,

 \begin{eqnarray} \overrightarrow{B_1B_2}&=& \overrightarrow{B_1A_2}+\overrightarrow{A_2O}+ \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{A_1C_1}
\\&=& (a-1)\left(\overrightarrow{OA_2}- \overrightarrow{OA_1}\right)
\end{eqnarray}

したがって,

 \displaystyle{\frac{1}{a} = a-1}

つまり,

 a^2 -a -1 = 0

(2)

 \begin{eqnarray} \overrightarrow{OB_1}&=& \overrightarrow{OA_2}+a\overrightarrow{OA_1}
\end{eqnarray}

 \begin{eqnarray} |\overrightarrow{OA_2} - \overrightarrow{OA_1}|^2 &=& |\overrightarrow{A_1A_2}|^2
\\&=& a^2
\\&=& a+1
\\&=& \frac{3+ \sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray}

 \displaystyle{ \overrightarrow{OA_1} \cdot \overrightarrow{OA_2}
\\=  \frac{|\overrightarrow{OA_1}|^2 + |\overrightarrow{OA_2}|^2 - |\overrightarrow{OA_2} - \overrightarrow{OA_1}|^2}{2}
\\= \frac{1- a}{2}
\\= \frac{1- \sqrt{5}}{4}
}

 \displaystyle{ \overrightarrow{OA_1} \cdot \overrightarrow{OA_2}
\\=  \overrightarrow{OA_2} \cdot \overrightarrow{OA_3}
\\= \overrightarrow{OA_3} \cdot \overrightarrow{OA_1}
\\= \frac{1- a}{2}
}


 \displaystyle{ \overrightarrow{OA_1} \cdot \overrightarrow{OB_2}
\\=  \overrightarrow{OA_1} \cdot (\overrightarrow{OA_3}+a\overrightarrow{OA_2})
\\= \frac{(1- a)(1+a)}{2}
\\= -\frac{a}{2}
\\= -\frac{1+ \sqrt{5}}{4}
}

 \displaystyle{ \overrightarrow{OB_1} \cdot \overrightarrow{OB_2}
\\=  (\overrightarrow{OA_2 }+ a\overrightarrow{OA_1} ) \cdot (\overrightarrow{OA_3}+a\overrightarrow{OA_2})
\\=  1-a^2 + a
\\= 0}

したがって, 四角形  OB_1DB_2 は正方形である.
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