陥没地帯 (290) - ノリの悪い日記

$2021$ 年共通テスト, 数学 $2B$ から. 黄金比 (この問題では $a$ ) を使って計算を効率よくやることについては, 記事 $(235)$ で触れておいた.

【問】

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【解】
$(1)$
$\angle A_1C_1B_1 = 36^{\circ}$

$\begin{eqnarray} \overrightarrow{B_1B_2}&=& \frac{1}{a}\overrightarrow{A_1A_2} \\&=& \frac{1}{a}\left(\overrightarrow{OA_2}-\overrightarrow{OA_1}\right) \end{eqnarray}$

また,

$\begin{eqnarray} \overrightarrow{B_1B_2}&=& \overrightarrow{B_1A_2}+\overrightarrow{A_2O}+ \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{A_1C_1} \\&=& (a-1)\left(\overrightarrow{OA_2}- \overrightarrow{OA_1}\right) \end{eqnarray}$

したがって,

$\displaystyle{\frac{1}{a} = a-1}$

つまり,

$a^2 -a -1 = 0$

$(2)$

$\begin{eqnarray} \overrightarrow{OB_1}&=& \overrightarrow{OA_2}+a\overrightarrow{OA_1} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} |\overrightarrow{OA_2} - \overrightarrow{OA_1}|^2 &=& |\overrightarrow{A_1A_2}|^2 \\&=& a^2 \\&=& a+1 \\&=& \frac{3+ \sqrt{5}}{2} \end{eqnarray}$

$\displaystyle{ \overrightarrow{OA_1} \cdot \overrightarrow{OA_2} \\= \frac{|\overrightarrow{OA_1}|^2 + |\overrightarrow{OA_2}|^2 - |\overrightarrow{OA_2} - \overrightarrow{OA_1}|^2}{2} \\= \frac{1- a}{2} \\= \frac{1- \sqrt{5}}{4} }$

$\displaystyle{ \overrightarrow{OA_1} \cdot \overrightarrow{OA_2} \\= \overrightarrow{OA_2} \cdot \overrightarrow{OA_3} \\= \overrightarrow{OA_3} \cdot \overrightarrow{OA_1} \\= \frac{1- a}{2} }$

$\displaystyle{ \overrightarrow{OA_1} \cdot \overrightarrow{OB_2} \\= \overrightarrow{OA_1} \cdot (\overrightarrow{OA_3}+a\overrightarrow{OA_2}) \\= \frac{(1- a)(1+a)}{2} \\= -\frac{a}{2} \\= -\frac{1+ \sqrt{5}}{4} }$

$\displaystyle{ \overrightarrow{OB_1} \cdot \overrightarrow{OB_2} \\= (\overrightarrow{OA_2 }+ a\overrightarrow{OA_1} ) \cdot (\overrightarrow{OA_3}+a\overrightarrow{OA_2}) \\= 1-a^2 + a \\= 0}$

したがって, 四角形 $OB_1DB_2$ は正方形である.
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