陥没地帯 (241) - ノリの悪い日記

簡単な問題だが, 昔から入試によく取り上げられる. $2010$ 年, 京大の問題. なお, 与えられた $2$ 点を通り, 一本の直線に接する円の作図方法は, 記事 $(202)$ に示しておいた. 一般に円は $2$ つ描ける.

【問】
$x$ を正の実数とする. 座標平面上の $3$ 点 $A(0,1)$ , $B(0,2)$ , $P(x,x)$ をとり, $\triangle APB$ を考える. $x$ の値が変化するとき, $\angle APB$ の最大値を求めよ.

【解】
点 $A$ , 点 $B$ を通り, $y = x$ に接する $2$ つの円のうち, 半径の小さい方を考える *1. すると, $P$ が接点の位置にあるとき題意を満たす. (円周角の定理から. 直線 $AB$ について接点と同じ側にある $y = x$ , $x> 0$ 上の $P$ を除く点はみな接円の外側にある.)

方べきの定理から,

$OP^2 = OA\cdot OB = 1\cdot 2 =2$

$OP > 0$ から, $OP = \sqrt{2}$ .

$\triangle PAB$ と $\triangle PAO$ は合同なので, $\angle APB = 45^\circ$ である.

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※ 記事 $(202)$ では, 与えられた円 $O$ に接し, 円外の $2$ 点 $A,B$ を通る円の作図方法も示したが, 上の問題の観点で, 再度眺めると, 点 $P$ が, 円 $O$ の周上を動くとき, $\angle APB$ を最大にするのが, 円 $O$ に外接する方の円の接点 ( $T_1$ ) であり (下の最初の図参照), $\angle APB$ を最小にするのが, 円 $O$ に内接する方の円の接点 ( $T_2$ ) であることが (下の $2$ 番目の図参照), 円周角の定理からわかる. //