ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (243)

1991 年東大理科後期の問題.

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【解】

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(1)

 C_1 の方程式を

 (x-a_1)^2 + (y-b_1)^2  - r_1^2=0

 C_2 の方程式を

(x-a_2)^2 + (y-b_2)^2  - r_2^2=0

とする. 題意から  C_1 C_2 は同心円ではないとしてよい. 平面上の点  P(x,y) について, 円  C_1,  C_2 の方べきが等しくなるときの軌跡を求める. つまり,

 (x-a_1)^2 + (y-b_1)^2  - r_1^2 \\=(x-a_2)^2 + (y-b_2)^2  - r_2^2

これを整理すると,

 2(a_2-a_1)x + 2(b_2-b_1)y \\\quad +a_1^2+b_1^2 - a_2^2 - b_2^2-r_1^2 + r_2^2 = 0

となり, 軌跡は直線となる. 点  A, B は, 円  C_1,  C_2 双方の円周上の点なので, 方べきはともに 0 で, したがって, 軌跡は直線  AB である.

 C_3 は円  C_1,  C_2 に直交する (交点における接線が各円の中心を通ることと必要十分である) ことから, 上図で  C_3T_1,  C_3T_2 は, それぞれ 円  C_1 ,  C_2 への接線であり,  C_3T_1 = C_3T_2 であることから方べきの値は等しい. したがって, 中心  C_3 は直線  AB 上にある.

(2)
 C_1C_2 は, 線分  AB の垂直 2 等分線であり (中学校で習った基本作図), 垂線の足を図のように  H とする ( \displaystyle{BH = \frac{1}{2}BA}).  \triangle AC_1H は直角三角形で, 最大辺は斜辺だから,

 C_1H <  C_1A = C_1T_1
 C_3T_1^2 = C_1C_3^2 - C_1T_1^2
 C_3H^2 = C_1C_3^2 - C_1H^2

したがって,

 C_3H ^2 - C_3T_1^2 = C_1T_1^2 -C_1H^2 > 0

ゆえに

 C_3A > C_3H > C_3T_1

また, 方べきの定理から,

 C_3T_1^2 =   C_3A \cdot C_3B

で,  C_3A > C_3T_1 から,

 C_3B < C_3T_1

となり, 題意は証明された.
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