ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (243)

初等幾何高校数学

$1991$ 年東大理科後期の問題.

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【解】

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$(1)$

円 $C_1$ の方程式を

$(x-a_1)^2 + (y-b_1)^2 - r_1^2=0$

円 $C_2$ の方程式を

$(x-a_2)^2 + (y-b_2)^2 - r_2^2=0$

とする. 題意から $C_1$ と $C_2$ は同心円ではないとしてよい. 平面上の点 $P(x,y)$ について, 円 $C_1$ , $C_2$ の方べきが等しくなるときの軌跡を求める. つまり,

$(x-a_1)^2 + (y-b_1)^2 - r_1^2 \\=(x-a_2)^2 + (y-b_2)^2 - r_2^2$

これを整理すると,

$2(a_2-a_1)x + 2(b_2-b_1)y \\\quad +a_1^2+b_1^2 - a_2^2 - b_2^2-r_1^2 + r_2^2 = 0$

となり, 軌跡は直線となる. 点 $A$ , $B$ は, 円 $C_1$ , $C_2$ 双方の円周上の点なので, 方べきはともに $0$ で, したがって, 軌跡は直線 $AB$ である.

円 $C_3$ は円 $C_1$ , $C_2$ に直交する (交点における接線が各円の中心を通ることと必要十分である) ことから, 上図で $C_3T_1$ , $C_3T_2$ は, それぞれ円 $C_1$ , $C_2$ への接線であり, $C_3T_1 = C_3T_2$ であることから方べきの値は等しい. したがって, 中心 $C_3$ は直線 $AB$ 上にある.

$(2)$
$C_1C_2$ は, 線分 $AB$ の垂直 $2$ 等分線であり (中学校で習った基本作図), 垂線の足を図のように $H$ とする ( $\displaystyle{BH = \frac{1}{2}BA}$ ). $\triangle AC_1H$ は直角三角形で, 最大辺は斜辺だから,

$C_1H < C_1A = C_1T_1$
$C_3T_1^2 = C_1C_3^2 - C_1T_1^2$
$C_3H^2 = C_1C_3^2 - C_1H^2$

したがって,

$C_3H ^2 - C_3T_1^2 = C_1T_1^2 -C_1H^2 > 0$

ゆえに

$C_3A > C_3H > C_3T_1$

また, 方べきの定理から,

$C_3T_1^2 = C_3A \cdot C_3B$

で, $C_3A > C_3T_1$ から,

$C_3B < C_3T_1$

となり, 問の命題が成立することが証明された.
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