ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

代数初歩ノート

9. ワイル代数

9-1. 次数付き環と次数付き加群 9-2. ワイル代数 9-3. フィルター 9-4. ホロノミー加群と b 函数の存在 9-1. 次数付き環と次数付き加群 環 について、各 に対して、部分加法群 が定められていて、 のとき、 を「次数付き環 (graded ring)」という。 を 次斉…

8. 加群 (4)

8-1. ネーター加群とアルティン加群 8-2. 根基と半単純性 8-3. Artin-Wedderburn の構造定理 8-1. ネーター加群とアルティン加群 次を昇鎖条件 (ascending chain condition) という。 加群 の任意の部分 加群 による、集合の包含を順序とした増大列、につい…

7. 加群 (3)

7-1. 射影加群と入射加群 7-2. テンソル積 7-3.「米田の補題」について 7-1. 射影加群と入射加群 環 上の二つの左加群 が与えられたとき、 の 準同型全体を で表すと、 は次の演算により「アーベル群」であることがすぐに確認できる。ここで、 である。単位…

6. 加群 (2)

6-1. 完全系列 6-2. 分数環 6-1. 完全系列 いくつかの 群 の準同型写像の列、が、どの についても、 を満たすとき、つまり、であるとき、その準同型列を「完全系列 (exact sequence) 」という。特に を単に と略記して、次のように書いて完全系列であるとき…

5. 加群 (1)

5-0. 環上の加群の定義 5-1. 有限生成加群の構造定理 (有限生成アーベル群の基本定理) 5-2. ジョルダン標準形 5-0. 環上の加群の定義 環 上の左加群 とは、 加法群 に環 から への作用、 が定められていて、線型空間でお馴染みの次の公理を満たすものを言う…

A. 線形代数の復習

A-1. 生成系と基底 A-2. 線型写像 A-3. 一次連立方程式と準同型 A-4. 直積と直和 A-5. 射影 A-6. Vandermonde 行列式 A-7. 固有値 A-8. 冪零行列 A-9. 双対空間 A-10. 二重双対空間 A-11. Levi-Civita の記号 (番外編) A-1. 生成系と基底 線型空間 を考え有…

4. 群作用

4-1. 群作用 4-2. 軌道 4-3. 固定化部分群 4-4. バーンサイドの補題 4-5. 共軛作用 4-6. 内部自己同型群 4-7. 共軛作用の例 4-8. シローの定理 4-1. 群作用 群 と集合 に関して、 の写像 が与えられていて、次の二つの条件を満たすとき、 は に (左から) 作…

3. ガロア理論 (簡易版)

3-0. 導入 3-1. 極大イデアルの剰余体 3-2. 線型空間としての拡大体 3-3. ガロア拡大のいい加減な導入 3-4. 自己同型写像が作る群 3-5. 拡大次数とガロア群の位数 3-6. ガロア対応 3-7. 正規部分群 3-8. 組成列 3-9. 冪根拡大ができる条件 3-10. 付録 3-0. …

2. 環と体の基本

2-0. 環と体の定義 2-1. イデアルの導入 2-2. 整域と体 2-3. 素イデアルと極大イデアル 2-4. 標数 2-5. 整数論から 2-6. 中国の剰余定理 2-7. 一意分解整域 2-8. 代数 2-9. 有限体の乗法群 2-0. 環と体の定義 加法群 (1-0 参照) が更に乗法、をもち、乗法に…

1. 群の基本

代数の初歩について、いままで書き散らかした雑記を整理してまとめておくことにする。 1. 群の基本 1-0. 群の定義 1-1. 置換 1-2. 部分群 1-3. 剰余集合とラグランジュの定理 1-4. 剰余群と正規部分群 1-5. 巡回群 1-6. 群の同型と準同型 1-7. 準同型定理 1.…