陥没地帯 (201) - ノリの悪い日記

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数 $I\hspace{-.1em}I$ で, 与えられた交わる $2$ 円の交点ともう一点, (同一直線上にはない) 別の点を通る円の方程式を求める問題で, 「円束」*1 を使って解くやり方があるが, それがなぜ円の方程式になるかという大変良い質問をされて, 計算する羽目になった. これは, 初等幾何的にいえば, 与えられた $2$ 円の方べきの比が与えられた比に等しい点の軌跡 *2 は, 一般に与えられた $2$ 円と共軸 *3 な円になることを示すことと同じである (ただし, 方べきが $0$ となる $2$ 円の交点を除く). ここで方べきといっているのは, (単なる復習であるが) 半径 $R$ の円の中心 $O$ と与えられた点 $P$ について, $OP^2 - R^2$ のことで, 点 $P$ が円の内部, 周上, 外部にある場合に, それぞれ負, 零, 正の値をとるものである (なぜ, 方べきがこの定義でよいのかは, 下図をみて少し考えればわかることなので, 省略する).

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方べきを式で書けば, $P(x,y)$ に対して

$(x - a)^2 + (y - b)^2 - R^2$

に他ならない.

それで, $2$ 円の方べきをそれぞれ

$(x-a_1)^2 + (y-b_1)^2 - r_1^2$ ,
$(x-a_2)^2 + (y-b_2)^2 - r_2^2$

とし, それが与えられた比 $m: n \neq 1:1$ に等しいとして泣く泣く計算した. あっている自信はないが,

$n\{(x-a_1)^2 + (y-b_1)^2 - r_1^2\} \\=m\{(x-a_2)^2 + (y-b_2)^2 - r_2^2\}$

を整理すると

$\displaystyle{\left(x- \frac{-na_1+ ma_2}{m-n}\right)^2 \\+ \left(y- \frac{-nb_1+ mb_2}{m-n}\right)^2 \\=\frac{1}{(m-n)^2}\{n^2r_1^2+ m^2r_2^2\\+mn(d^2-r_1^2 - r_2^2)\}}$

となった. ただし, $d$ は $2$ つの円の中心間距離で

$d = \sqrt{(a_2-a_1)^2 + (b_2-b_1)^2}$

である. それで, $2$ 円が $2$ 点で交わっている場合に $2$ つ前の式の右辺が常に正であることを証明する必要がある.

$\displaystyle{s = \frac{m}{m-n}}$

として, 右辺を $s$ について整理すると

$d^2s^2 + (r_2^2 - r_1^2 -d^2)s + r_1^2$

となった. 判別式をとると

$D \\ = (r_2^2-r_1^2 -d^2)^2 -4d^2r_1^2\\ = (r_2^2-r_1^2 -d^2+ 2dr_1) \times \\(r_2^2-r_1^2 -d^2- 2dr_1)\\ = (r_2-r_1+d)(r_2+r_1-d) \times \\ (r_2-r_1-d)(r_2+ r_1 + d)\\ = (r_1-r_2-d)(r_1-r_2+d) \times \\ (r_1+r_2-d)(r_1+ r_2 + d)$

となる. $2$ つの円の位置関係は, 三角不等式から

$|r_1 - r_2| \lt d \lt r_1 + r_2$

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を満たすので, $D < 0$ である. したがって右辺は常に正である*4.本当に良い質問だなあ.//

※ よく考えると, 下の図から

$d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos \alpha$

なので,

$\displaystyle{\left(x- \frac{-na_1+ ma_2}{m-n}\right)^2 \\+ \left(y- \frac{-nb_1+ mb_2}{m-n}\right)^2 \\=\frac{n^2r_1^2+ m^2r_2^2 -2mnr_1r_2\cos \alpha} {(m-n)^2}}$

から, すぐにわかるのだった.//

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*1:「共軸円系」とか「円群」とかと呼ばれることもある

*2:ある条件 $X$ を満足する点の軌跡とは, その条件を満たす点全部の集合のことをいう. 軌跡が図形 $f$ であることをいうには, 次の $2$ つの証明をする. $1)$ 条件 $X$ に適する点は, 図形 $f$ 上にある. $2)$ 図形 $f$ 上の点は条件 $X$ を満足する.

*3:交わる $2$ 円の交点を通る直線は「根軸」と呼ばれる.「根軸」は後の説明から容易に推定できるように, 同心円でない $2$ 円の方べきが等しい (交点を除いて方べきの比が $1:1$ となる) 点の軌跡のことであり, $2$ 円が異なる $2$ 点で交わる場合には, 根軸はその交点を通る直線と一致する. くれぐれも交わらない $2$ 円の交点を通る直線を求めないように！ $2$ つの円が外にある場合の根軸を下図の赤色の線で示しておく. 根軸は方べきが等しくなる共通接線の中点を通る直線である. なお, $2$ つの円に直交するすべての円が通過する $2$ つの共通点 ( $2$ つの円の中心を結ぶ線上にある) は, 「限点」と呼ばれる. f:id:noriharu-katakura:20210626100840j:plain

*4: $2$ 円が内接または外接している場合には, $D= 0$ となり、 $1$ つの円が他の円の内部または外部にある場合は $D > 0$ となる. したがって, 右辺が $0$ になって軌跡が $1$ 点になる場合, または右辺が負になって軌跡が存在しない (虚円となる) 場合が存在する. 円が外接している場合に, 軌跡が $1$ 点になる条件は半径の比に内分する場合で, 軌跡は $2$ つの円の接点である. 円が内接している場合に, 軌跡が $1$ 点になる条件は半径の比に外分する場合で, 軌跡は $2$ つの円の接点である.