前回の 年度の神奈川県公立高校入試問題の続き.【問】 図のように長方形 があり, 辺 の中点を とする. また辺 上に点 を となるようにとり, 辺 上に を線分 と線分 が垂直に交わるようにとる. さらに線分 と線分 の交点を とする. , のとき, 線分 の長さを求…

年度の神奈川県公立高校入試問題をやってみる. 正解率は だそうである. 別解 はなかなか気づかなかった.【問】 図のように長方形 があり, 辺 の中点を とする. また辺 上に点 を となるようにとり, 辺 上に を線分 と線分 が垂直に交わるようにとる. さらに…

塾で, こんな問題があった.【問】 において , とする. 辺 の中点を , 辺 を に内分する点を , 辺 を に内分する点を , 線分 と線分 の交点を とするとき, を , で表せ.もちろん, 普通 (だが, 普通とはなにか？) のやり方で解けば良い*1のだが, を幾何で求め…

正方形 の辺 上の点を とし, 直線 が直線 と交わる点を とすれば, である.線分 の中点を とすると,であるから, であることを示せばよい. そのために, で が鈍角であることを示せばよい. は直角三角形 の斜辺の中点なので, は二等辺三角形 であり, したがって…

前の記事の続き. 過去の入試問題から.【問】 三角形 の内部の一点を とするとき, が成り立つことを証明せよ. 長方形 の辺 , 上にそれぞれ点 , をとる. このとき, が成り立つことを証明せよ.【解】 前の記事で証明したので省略する.(誘導問題として残しておい…

つの三角形の不等関係というのは,● 二等辺三角形の底角は等しい. ● 三角形の つの頂点の外角は, 残りの つの頂点の内角の和に等しい.という性質から演繹されるものである. において であることと は同値である. まず, を仮定すると, となるよう, 線分 上に …

三角形の面積を求めるヘロンの公式で, 三角形の周の長さに関連して と置いているが, こう として置くことはヘロンの公式以外でも便利である. の内接円が , , と接する点を とする. だから, たとえば,である. すると, という, 覚えるのが簡単な式ができる.傍…

円周角に関連して次の つの性質はよく知られている.i) 円の 弦 と が 円の内部の点 において交わるときは, は, に等しい弧の上に立つ円周角に等しい.【証明】 となるように, 円周上に点 をとれば, である. したがって, となる.//ii) 円の 弦 と が 円の外部…

年のセンター試験, 数 の問題. なんか, 公式の計算練習のような問題で, わざわざやって損したような気分. 【解】 方べきの定理より,したがって,メネラウスの定理から,なので,である. したがって,だから, これを解いて,となる. 余弦定理より, から、 の内接円…

簡単な問題.円 に内接する の頂点 から辺 に垂線を下ろし, 垂線の足を とする. また線分 を延長し再び円周と交わる点を とする. と は相似だから,したがって,である.※ , , , とすれば, から,である. (もっともこの式は, に正弦定理を適用すればすぐ出る.) と…

ニュートンの定理 (下記) の証明.四辺形 の辺 と の延長線の交点を とし, 辺 と の延長線の交点を とする. 辺 の中点 , 辺 の中点 , の中点 は同一直線上にある.※ 直線 を四角形 の「ニュートン線」という.メネラウスの定理より,の中点を , の中点を , の中…

誰でも知っている物理学者が, 小学生のときにしたといわれるピタゴラスの定理の証明はよく紹介される. それは直角三角形の直角である角 から対辺 に垂線を下ろしてその足を とすれば, , , のどの つも互いに相似であることと, であることから導くものである.…

バラ科シモツケソウ属。それ以上の区別はいまだにできない。 バイカウツギ。 複素数を使って初等幾何を扱う練習. 以下断らない限り, 平面は複素平面で, 円は単位円である.上図で異なる点を , , , として と が平行である必要条件を求めてみる. と が平行であ…

アプリで図が簡単に書けるようになったので, 幾何の問題は面白いなあ.【問】一辺の長さ の正二十面体を考える. この正二十面体に外接する球の半径 を求めよ. この正二十面体の体積を求めよ.【解】 正二十面体の中心 を含む平面で左右対称に切ると上図のよう…

調和点列はいろいろなところに現れる.台形 の対角線の交点を とし, 辺 と の延長の交点を とする. と , の交点をそれぞれ , とする. そうすると, 点列 , , , は調和点列である.なぜなら, から, から, から, から,故に,したがって点列 , , , は調和点列である…

以前やった *1 年の京都大学の文理共通の入試問題だが, 複比の練習問題としてもう一度やる.【問】 平行四辺形 において, 辺 を に内分する点を , 辺 を に内分する点を , 辺 を に内分する点を とする. 線分 と線分 の交点を とし, 線分 を延長した直線と辺 …

【問】 の辺 の中点を とし, を直径とする円と辺 の交点をそれぞれ とする. においてこの円にひいた接線の交点を とすれば, である.【証明】下図のように を延長し, 極線 との交点を , 円周とのもう一つの交点を とする. すでに前の記事で証明したように は…

記事 では, 点列 , , , が調和点列であることを示すのに, メネラウスの定理とチェバの定理を使ったが, ここでは他のやり方で示すことを考える. 直線上に 点 , を定め, 線分 を内分または外分する点 の分割比 と線分 を内分または外分する点 の分割比 につい…

前の記事の続き. 極と極線については, もう少し準備がいる.円 について点 が「互いに共軛である」とは, 極 の極線上に極 があり, の極線上に極 があることをいう.前の記事の図を見ればそうではないかと想像できる次の事実は共軛に関して基本的である.点 , が…

ホオノキ。一年以上前も記事で、かつて同じ町内に住んでいた唐木順三が昭和三十二年に書いた文章を紹介したことがある (随筆集「朴の木」所収)。 ここには朴の木が多い。あの木も私はすきである。すくすくと素直に延びてゆくのがすきである。筆の穂先のよう…

調和点列について.線分 が点 と によってそれぞれ同じ比で内分, 外分されたとき, つまりのとき, , は を「調和に分ける」と言い, 点 , , , を調和点列という. 調和点列を表わすのに, 記号 あるいは を使うことがある.すぐにわかるように (比の内項を交換すれ…

ハクウンボク。 コゴメウツギ。 スイカズラ。 反転 について.ひとつの定点 と定線 上の任意の点 を結ぶ直線 上に ( は正の定数) を満足するように をとったとき, 点 の軌跡 を点 を中心とする の反形という. また点 について と点対称である点 の軌跡を逆反…

これはややこしいなあ. 点 を中心に点 を角 回転し, 移動した点を とする. さらに点 とは異なる点 を中心に点 を角 回転し, 移動した点を とする. そうすると のとき, 点 から点 への回転の合成は点 を中心に角 回転したものに等しい. ここで 点 は直線 と直…

塾で数 とかやっていて 直線 に関して、点 と対称な点を とするとき、複素数 を求めなさい。 とかいう問題を見ていると、僕の頃は数学教育の現代化とか言われていた頃で複素数平面はやらなかったし、二次元の回転は行列で行うことを習ったので、今でもまずそ…

(143)(144)(145)(146)(147) (150) の続き。 三面角及び多面角1. 多面角三つ以上の平面が同一の点を通り且つ二つづつ順に交わるとき, 各平面を其の点と, 其の隣の平面との交線に限り, これ等の平面は「多面角をなす」という.例えば箱の隅や結晶体の角等の部分…

(143)(144)(145)(146)(147) の続き。 正射影と二面角1. 正射影平面幾何学に於ける一つの点又は一つの線分が他の一直線上に投ずる正射影なるものの定義と同じように 定義 平面外の一点から之へ引いた垂線の足を, 此の点が此の「平面に投ずる正射影」という.一…

(143)(144)(145)(146) の続き. 平行平面に関する定理諸君は既に, 二つの平面が双方に何程延長するも出会わないときにはこの二平面は平行であるということ及び空間に於ける二平面の位置の関係は [l] 平行なる場合 [ll] 相交わる場合 の何れかであることを学ん…

前の記事の続き。直線と平面二つの直線の位置の関係諸君は五月創刊号で平面が決定せられる種々の場合に就て詳しく学んだ。次に空間に於ける二つの直線の相互の位置関係に就て研究して見よう。空間に於ける二つの直線の相互の位置関係は同一平面上にある場合…

陶芸家の処のトサミズキが咲き始めた。隣にあるイヨミズキも一輪だけ開花している。ミザクラだと思うが、種類は分からない。これも陶芸家の処で。コブシの花も咲き始めたなあ。 昭和七年発行の研究社編の旧制中学 4, 5 年向けの学習誌「上級数学」を読んでい…

小学校の算数も教えることになりそうなのでいろいろと問題をみていたら、「比」というのをうまく使うことが算数では必要なケースが多いということがわかった。たとえば、「逆比」の考え方を使えば以前の記事 (6・13) で紹介した神奈川県公立高校の2019年入試…