ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (285)

高校数学初等幾何

$2020$ センター試験数学 $1A$ の問題.

【問】
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【解】
もちろん, チェバ・メネラウスの両定理を使って求めてもよいけれど, 天秤法 *1 だとあっけない (解答時間 $1$ 分未満). つまり, $A$ と $B$ には重さ $1$ の錘, $C$ には重さ $7$ の錘を置けばよい. $A$ と $B$ の錘の釣り合いから,

$\displaystyle{\frac{GB}{AG} = 1}$

$D$ には, $8$ の重さがかかるから,

$\displaystyle{\frac{FD}{AF} = \frac{1}{8}}$

また, $G$ には $2$ の重さがかかるから,

$\displaystyle{\frac{FC}{GF} = \frac{2}{7}}$

である.

$\begin{align} \triangle CDG &= \frac{1}{8}\triangle GBC \\ \triangle BFG &= \frac{7}{9}\triangle GBC \end{align}$

だから,

$\displaystyle{ \frac{\triangle CDG}{ \triangle BFG} = \frac{1}{8}\cdot \frac{9}{7} = \frac{9}{56}}$

方べきの定理から,

$\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot AB^2 = 72}$

したがって,

$AB = 12$

また,

$\displaystyle{ AE \cdot AC = \frac{8}{7} \cdot AE^2 = 72 }$

と

$AB\cdot AG = 72$

とから, 方べきの定理の逆によって, 点 $B$ , $C$ , $E$ , $G$ は同一円周上にある. したがって,

$\angle AEG = \angle ABC$
//

$1933$ 年, 旧制第一高等学校の入試問題.

【問】
円に内接する $6$ 角形 $ABCDEF$ の対角線 $AD$ , $BE$ , $CF$ が $1$ 点に会するときは,

$\displaystyle{\frac{AB}{BC}\cdot\frac{CD}{DE} \cdot \frac{EF}{FA} =1}$

なることを証明せよ.

【解】
下図のように対角線の交点を $P$ とする. $\triangle APB$ と $\triangle EPD$ は相似であるから,

$\displaystyle{\frac{AB}{DE}= \frac{AP}{EP}}$

$\triangle EPF$ と $\triangle CPB$ は相似であるから,

$\displaystyle{\frac{EF}{BC}= \frac{EP}{CP}}$

$\triangle CPD$ と $\triangle APF$ は相似であるから,

$\displaystyle{\frac{CD}{FA}= \frac{CP}{AP}}$

上記 $3$ 式を辺々かけて,

$\displaystyle{\frac{AB}{BC}\cdot\frac{CD}{DE} \cdot \frac{EF}{FA} =1}$

を得る.

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//

※ 逆は, 円に内接する $6$ 角形 $ABCDEF$ を凸 $6$ 角形に制限すれば成立する.//

*1:記事 $(36)$ 参照