陥没地帯 (198) - ノリの悪い日記

この問題は, まっとうに解いた方が早いなあ. やりたくないけど……

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【問】
点 $O$ を中心とする円に内接する四角形 $ABCD$ において, $AB =2$ , $AC = 3$ , $AD = 1$ , $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 3$ とする. $\vec{AO}$ と $\vec{AD}$ をそれぞれ, $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を用いて表わせ.

【解】
$C$ から $AB$ に垂線を下ろして, その足を $F$ とする. 問題の仮設より,

$AB\cdot AF =2AF =3$

なので, $AF = 3/2$ である. したがって, $\angle BAC = 60^\circ$ である. ゆえに,

$\displaystyle{FC = \frac{3\sqrt{3}}{2}}$ .

また, 余弦定理から,

$BC^2 = 2^2 + 3^2 -6 = 7$

なので,

$BC = \sqrt{7}$

である.

$\displaystyle{ \triangle ABC = \frac{3\sqrt{3}}{2}}$

で, 外接円の半径を $R$ とすると,

$\displaystyle{\triangle ABC = \frac {abc}{4R}}$

だったから,

$\displaystyle{R = \frac{\sqrt{21}}{3}}$

となる. $O$ から, $AB$ に下ろした垂線の足を $E$ とすると,

$\displaystyle{EO = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{21}}{3}\right)^2-1^2 } = \frac{2\sqrt{3}}{3}}$

で, これから,

$\displaystyle{\vec{EO} = \frac{4}{9}\vec{FC}}$ .

したがって,

$\displaystyle{\vec{AO}\\= \frac{1}{2}\vec{AB}+ \frac{4}{9}\vec{FC}\\= \frac{1}{2}\vec{AB}+ \frac{4}{9}(\vec{AC} - \vec{AF})}$
$\displaystyle{= \frac{1}{2}\vec{AB}+ \frac{4}{9}\left(\vec{AC} - \frac{3}{4}\vec{AB}\right)\\=\frac{1}{6}\vec{AB} + \frac{4}{9}\vec{AC}. }$

次に, $D$ を通り, $AB$ に平行な直線が, $AC$ と交わる点を $I$ とする. また $BA$ の延長線上に, $AE = AE'$ となるよう, $E'$ をとる. $AE = AE' = AD = 1$ と $\angle BAC= 60 ^\circ$ であることを用いて, $AI = 1$ (四角形 $AIDE'$ は菱形) であることが証明できる. したがって,

$\displaystyle{ \vec{AD} =-\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}}$

である.//

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※ $\angle BAD = \theta$ とおくと, 正弦定理と余弦定理から,

$BD = 2R\sin \theta$
$BD^2 = AD^2 + AB^2 - 2AD\cdot AB \cos \theta$

なので,

$\displaystyle{\frac{28}{3}(1-\cos^2 \theta) = 1 + 4 -4\cos \theta}$

整理して,

$28\cos^2 \theta -12 \cos \theta -13 = 0.$

したがって,

$(14\cos \theta -13)(2\cos \theta +1) = 0$ .

鈍角の方をとって,

$\displaystyle{\cos \theta = -\frac{1}{2}}$ .

これから,

$\theta = \angle BAD = 120^\circ$

したがって,

$\angle IAD = 60^\circ$

である.

ちなみに, $\triangle BCD$ は正三角形である. したがって, 点 $O$ は, $\triangle BCD$ の重心でもあるから,

$\displaystyle{ \vec{AO} = \frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{AC}+ \vec{AB})}$

なので,

$\displaystyle{\begin{align}\vec{AD} &= 3\vec{AO}- \vec{AB} -\vec{AC}\\ &= 3\left(\frac{1}{6}\vec{AB}+ \frac{4}{9}\vec{AC}\right) - \vec{AB}-\vec{AC}\\ &= -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}\end{align}}$

とする方がよいかもしれない.
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