この問題は, まっとうに解いた方が早いなあ. やりたくないけど……
【問】
点 を中心とする円に内接する四角形
において,
,
,
,
とする.
と
をそれぞれ,
と
を用いて表わせ.
【解】
から
に垂線を下ろして, その足を
とする. 問題の仮設より,
なので, である. したがって,
である. ゆえに,
.
また, 余弦定理から,
なので,
である.
で, 外接円の半径を とすると,
だったから,
となる. から,
に下ろした垂線の足を
とすると,
で, これから,
.
したがって,
次に, を通り,
に平行な直線が,
と交わる点を
とする. また
の延長線上に,
となるよう,
をとる.
と
であることを用いて,
(四角形
は菱形) であることが証明できる. したがって,
である.//
※ とおくと, 正弦定理と余弦定理から,
なので,
整理して,
したがって,
.
鈍角の方をとって,
.
これから,
したがって,
である.
ちなみに, は正三角形である. したがって, 点
は,
の重心でもあるから,
なので,
とする方がよいかもしれない.
//