ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (198)

この問題は, まっとうに解いた方が早いなあ. やりたくないけど……

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【問】
 O を中心とする円に内接する四角形  ABCD において,  AB =2, AC = 3, AD = 1, \vec{AB}\cdot\vec{AC} = 3 とする.  \vec{AO} \vec{AD} をそれぞれ,  \vec{AB} \vec{AC} を用いて表わせ.

【解】
 C から  AB に垂線を下ろして, その足を  F とする. 問題の仮設より,

 AB\cdot AF =2AF =3

なので,  AF = 3/2 である. したがって,  \angle BAC = 60^\circ である. ゆえに,

 \displaystyle{FC = \frac{3\sqrt{3}}{2}}.

また, 余弦定理から,

 BC^2 = 2^2 + 3^2 -6 = 7

なので,

 BC = \sqrt{7}

である.

\displaystyle{ \triangle ABC = \frac{3\sqrt{3}}{2}}

で, 外接円の半径を  R とすると,

 \displaystyle{\triangle ABC = \frac {abc}{4R}}

だったから,

 \displaystyle{R = \frac{\sqrt{21}}{3}}

となる.  O から,  AB に下ろした垂線の足を  E とすると,

 \displaystyle{EO = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{21}}{3}\right)^2-1^2 } = \frac{2\sqrt{3}}{3}}

で, これから,

 \displaystyle{\vec{EO} = \frac{4}{9}\vec{FC}}.

したがって,

 \displaystyle{\vec{AO}\\= \frac{1}{2}\vec{AB}+ \frac{4}{9}\vec{FC}\\= \frac{1}{2}\vec{AB}+ \frac{4}{9}(\vec{AC} - \vec{AF})}
 \displaystyle{= \frac{1}{2}\vec{AB}+ \frac{4}{9}\left(\vec{AC} - \frac{3}{4}\vec{AB}\right)\\=\frac{1}{6}\vec{AB} + \frac{4}{9}\vec{AC}. }

次に,  D を通り,  AB に平行な直線が,  AC と交わる点を  I とする. また  BA の延長線上に,  AE = AE' となるよう,  E' をとる.  AE = AE' = AD = 1 \angle BAC= 60 ^\circ であることを用いて,  AI = 1 (四角形  AIDE'は菱形) であることが証明できる. したがって,

\displaystyle{ \vec{AD} =-\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}}

である.//

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 \angle BAD = \theta とおくと, 正弦定理と余弦定理から,

 BD = 2R\sin \theta
 BD^2 = AD^2 + AB^2 - 2AD\cdot AB \cos \theta

なので,

 \displaystyle{\frac{28}{3}(1-\cos^2 \theta) = 1 + 4 -4\cos \theta}

整理して,

 28\cos^2 \theta -12 \cos \theta -13 = 0.

したがって,

 (14\cos \theta -13)(2\cos \theta +1) = 0.

鈍角の方をとって,

 \displaystyle{\cos \theta = -\frac{1}{2}}.

これから,

 \theta = \angle BAD = 120^\circ

したがって,

 \angle IAD = 60^\circ

である.

ちなみに,  \triangle BCD は正三角形である. したがって, 点  O は,  \triangle BCD の重心でもあるから,

 \displaystyle{ \vec{AO} = \frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{AC}+ \vec{AB})}

なので,

 \displaystyle{\begin{align}\vec{AD} &= 3\vec{AO}- \vec{AB} -\vec{AC}\\
&= 3\left(\frac{1}{6}\vec{AB}+ \frac{4}{9}\vec{AC}\right) - \vec{AB}-\vec{AC}\\
&= -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}\end{align}}

とする方がよいかもしれない.
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