ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (212)

初等幾何

前回の記事でオイラー線に触れたので九点円の証明もやっておく.

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前回の結果から, A, B, C の各辺の中点を結んだ \triangle DEF は, 重心 G を中心に相似比 -1/2 で \triangle ABC と相似の位置にある. \triangle ABC の外接円の半径を R とすれば, \triangle DEF の外接円の半径は, R/2 で, その中心の位置 O' は, オイラー線上にあり, GO: GO' = 2:1 であることがわかる. ということは, O' は OH の中点である.

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AH, BH, CH の中点をそれぞれ J, K, L とする. \triangle JKL は、垂心 H を中心に相似比 1/2 で \triangle ABC と相似の位置にある. \triangle JKL の外接円の半径は, R/2 で, その中心の位置は, OH の中点であるので O' である.

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\triangle ABC の各頂点から対辺に下ろした垂線が, 外接円の円周と交わる点を図のように R, Q, I とする. \angle APH = 90^\circ であり, また,

\displaystyle{\begin{align}\angle IAP &=\angle ICB \\ &= 90^\circ - \angle CHM\\ &= 90^\circ - \angle AHP\\ &= \angle HAP \end{align}}

AP は共通だから, \triangle AIP と \triangle AHP は合同であり, したがって, HP = PI である. 同様にして, HM = MR, HN = NQ であることがわかる.

このことから, \triangle PMN は, 垂心 H を中心に相似比 1/2 で \triangle IRQ と相似の位置にある. \triangle PMN の外接円の半径は, R/2 で, その中心の位置は, OH の中点であるので O' である.

以上より、 J, F, P, K, M, D, L, E, N は中心 O' ( OH の中点) で, 半径 R/2 の円周上にある.
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