前回の記事でオイラー線に触れたので九点円の証明もやっておく.
前回の結果から, ,
,
の各辺の中点を結んだ
は, 重心
を中心に相似比
で
と相似の位置にある.
の外接円の半径を
とすれば,
の外接円の半径は,
で, その中心の位置
は, オイラー線上にあり,
であることがわかる. ということは,
は
の中点である.
,
,
の中点をそれぞれ
,
,
とする.
は、垂心
を中心に相似比
で
と相似の位置にある.
の外接円の半径は,
で, その中心の位置は,
の中点であるので
である.
の各頂点から対辺に下ろした垂線が, 外接円の円周と交わる点を図のように
,
,
とする.
であり, また,
は共通だから,
と
は合同であり, したがって,
である. 同様にして,
,
であることがわかる.
このことから, は, 垂心
を中心に相似比
で
と相似の位置にある.
の外接円の半径は,
で, その中心の位置は,
の中点であるので
である.
以上より、,
,
,
,
,
,
,
,
は中心
(
の中点) で, 半径
の円周上にある.
//