中学 年生に座標軸とはすでに正負の数のところで習った数直線を 本, 横と縦に配置したものだと説明していたら *1, なぜか望月新一先生のブログ記事を思い出してしまった. ​​「同じものを同じものと見做すか, それとも違うものと見做すか」という話は, 恐らく…

前回の続きだが, 中学数学からはちょっと逸脱する.集合 から 集合 への関数 があって, その要素 の順番を反転した対 の集合が集合 から 集合 への関数になる条件を調べるには, 前回の記事で取り上げた関数の定義を素直に確認すればよい. まず, 任意の につい…

なんとなくしか覚えていないが, 数学教育の現代化がいわれていた時代だから, 中学 年の数学の教科書にある「関数」の定義は「 つの集合 , があって, のどの要素 に対しても, の要素 がただ つだけ対応するとき, その対応を から への関数という. またこのと…

大谷翔平の打率 を 割 厘 というのは, 打あたり安打が 打と考えるのが自然だからだろう.同じように百分率で表された割合は, 単位あたりで考える方が自然な気がする. たとえば, の食塩水は, あたり食塩が 含まれていると考えた方が自分にはとっつきやすい. こ…

文章題を読んで 1 次方程式をうまく立てられない場面にしばしば出くわすのは一体なんなんだろう. 最近仮説として思っているのは, 小学校 5 年生で習うことになっている「単位量 *1 あたりの大きさ」あたりがよく理解できていないこともひとつあるのではない…

「ちくま」に隔月連載されている蓮實重彥の「マイナンバー・カード」についての文章を読んでいるときに, なぜか唐突に思ったのは, 英語圏では,の左辺の “−” は minus と読み, 右辺の “−” は negative と読むのが, こと数学に関しては普通だということであり,…

中1 の数学の最初は正負の数の計算の勉強から始まるのだが, いつも変なことを教えている気分がしてしまう.たとえば, 割り算 (除法と呼ぶようになる) は逆数をとって掛け算 (乗法) にしてから計算すると教えるのだが, だったら引き算 (減法) の方も足し算 (加…

前の記事に引き続いて空間図形の問題をやってみた. いつも思うのだが, 神奈川県の空間図形の問題は例年つまらないものが多い. この問題も, 平面図形の中線定理を適用するだけである. なお, 中線定理は「平行四辺形の 辺の平方和は, 対角線の平方和に等しい」…

今日は神奈川公立高校入試だったが, 問題がもう公開されていた. 数学の次の問題は, 以前紹介した 2019 年の問題と同様に面積比を使って長さの比を求めれば容易に解ける.【解】 台形 の面積を単位量にとって (倍) とする.まず,は, と相似からすぐにわかる.次…

神奈川県公立高校入試の特色検査の問題を見ると, 判断推理の問題が出ている。この種の問題は, 1) 条件整理 2) 仮定による場合分け 3) 各場合の仮定について条件に矛盾するものを落とす, といった抹殺作業で解けるものがほとんどだが, 多少の慣れは必要である…

神奈川県の去年の公立高校入試問題である。【解】 だから,ところで, と は相似である (下図). ピタゴラスの定理によりだから, これとより, したがって, //【別解】下の図のように, から に垂線を下ろしその足を とする. と は相似 である. と は相似であり, …

年度の問題である. ときどきというか, しばしばというか, 入試問題の過去問集に掲載されている解答になぜこんな不思議な解き方をするのだろうと思うことがある (人のことは言えないが).【問】 【解】 問題集の解答では を延長して求めているのだが, なぜ比を…

高校入試問題に戻って, 年度の国立高校入試問題の一部だけやってみた.立方体の 辺の長さは cm である.【解】当たり前といえば当たり前なのだが, 「直線と平面が平行である」についてもっとも基本的なことを確認しておく. 直線と平面が平行であることの定義は…

某私立高校の 年度の入試問題【問】 下図は, 辺の長さが の正三角形 面と 辺の長さが , , の直角二等辺三角形 面でできる六面体の一部である.(1) 残りの 面を解答用紙に記入せよ. (2) この六面体の体積を求めよ. (3) この六面体において, 点 , 間の距離を求…

年の問題である. で, は の外心だから, である. 中点連結定理より, は, とも とも垂直なので, は平面 と垂直である. したがって, は常に である. このことから, の面積が最小になるのは, の長さが最小となるときであることがわかる. そして, それは が と垂…

年の問題である. 時間があるときは面白い問題である. 時間がないときは……。【解】 (1) (2)-①下の展開部分図で,である. ひし形 の面積を基準にとり, ひし形の面積を 倍とすると, の面積はその 倍であり, の面積は,倍である. したがって, (2)-②下の断面図で, …

2022 年度である. 問 (2) は, すでに灘中の問題で出てきたように, 等体積の二つの三角錐に分割して求めるのが簡便だろう. 灘中の問題の場合はどちらの三角錐で体積を計算しても手間は変わらなかったが, こちらは変わるなあ. しかし, 空間図形の問題を捨てる…

年度の問題.【問】 下の図のように 辺が の立方体 があります. この立方体の対角線 上に, となる点 をとります. このとき, 次の問に答えなさい. と が相似であることを証明しなさい. 線分 の長さを求めなさい. つの点 , , , を頂点とする立体の体積を求めな…

秋山武太郎の『わかる幾何學 立體篇』(昭和 七年) をパラパラと見ていたら, かなりの内容が, 以前感心したので紹介した昭和七年創刊の旧制中学生向けの学習雑誌の記事の内容とかぶっていることに気がついた. あの記事の内容は, 『わかる幾何學 立體篇』がベ…

ネットを見ていたら, 下図において, 側面がすべて長方形の三角柱で, , , , のとき, 点 から, 平面 に下ろした垂線の長さを求めよという問題があった.普通に三角錐の体積から求めれば良いのだが, 別解といわれる方法がどうもしっくりこないので, じゃあ自分だ…

年の入試問題である.【問】 【解】 ① 四角錐を点 , , を含む平面で切断して, 三角すい , の体積の和として求めればよいが, どちらも同じ体積なので, 片方の体積のみ求めて 倍すればよい. 答えは ② 求めるものは四角すい の体積である. 同じようにして, 三角…

ドゥルーズの『差異と反復』の「思考のイマージュ」に倣って, 中学数学が真に開始することができないのは, その開始が「すべての人は空間というものを知っている」という暗黙の前提 (ドグマ) に立っているからだ. と, 思わず呟いてしまいたくなるのは, 以下…

年度の空間図形の問題. 太字にしたところは, 前の記事の垂直条件とともに空間図形の問題を解くときには常に頭においておくべき最低限のものである. なお, 最後の 3) - ② は正答率 % とある. 【解】 (1)-① (1)-② から,これを解いて のものをとると,(2) という…

年の数学の問題である. こういった立体図形の問題を解くのに「立体感覚」が必要だと言うのは真っ赤な嘘だと思っている.【解】(ア) 答えは 番.(イ) 展開図より得られる立体は三角すいだと問題文に書いている. と は直交している. は に重なるのだから, 三角す…

ネットで見かけた問題をただやってみた. どこかの高校入試の問題だと思う. 問題の要旨は一辺の長さが の正方形 で, 辺 上に点 を , 辺 上に点 を になるようにとって、図のようにするとき、 と の面積比を求めよというものである。(解)四角形 の頂点は同一円…

前に紹介した、神奈川県公立高校の2019年入試問題で、解き方はいろいろあるのだが、面積比を使って長さの比を求めるやり方は意外と簡単だなあと最近思ったので、ちょっと記事にしておく。この問題は実際の入試で正答率 2 % 台だったのである。【問】 三角形 …

例題をやっておく. 私立武蔵高校の 1980 年入試問題らしい.【問】 図のように三角柱 があり, , , である. 直線 の延長上に, となる点 をとる. 線分 の中点を とし, 線分 と平面 の交点を とする. このとき, 線分 の長さを求めよ.【解】線分 を含んでいる, 直…

前の記事の関連で, 以下のような 点を含む平面 (もちろん平面はただ一つに決まる) による立方体の切断平面を決定する手順を考えてみる.まず, 点を結ぶしかない. 切断平面は, この 点を通る直線 ( とする) と直線外の点を含む平面である.一番手前の赤丸が存在…

前回の 年度の神奈川県公立高校入試問題の続き.【問】 図のように長方形 があり, 辺 の中点を とする. また辺 上に点 を となるようにとり, 辺 上に を線分 と線分 が垂直に交わるようにとる. さらに線分 と線分 の交点を とする. , のとき, 線分 の長さを求…

年度の神奈川県公立高校入試問題をやってみる. 正解率は だそうである. 別解 はなかなか気づかなかった.【問】 図のように長方形 があり, 辺 の中点を とする. また辺 上に点 を となるようにとり, 辺 上に を線分 と線分 が垂直に交わるようにとる. さらに…