ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (220)

初等幾何 立体幾何初歩 中学数学

例題をやっておく. 私立武蔵高校の 1980 年入試問題らしい.

【問】
図のように三角柱 ABC-DEF があり, \angle ABC = \angle DEF = 90^\circ, AB = BE =2, BC = 1 である. 直線 BE の延長上に, EG = 1 となる点 G をとる. 線分 AC の中点を H とし, 線分 GH と平面 BDF の交点を I とする. このとき, 線分 GI の長さを求めよ.

【解】

線分 GH を含んでいる, 直線 GB と GB 上にはない点 H で決まる平面 P を考える. H を通る BG に平行な直線は, 平面 P に含まれている. この平行線は, 平面 BDF と 点 K で交わるので, 点 K は平面 P と平面 BDF の共有点である. また点 B も平面 P と平面 BDF の共有点である. したがって, I は 直線 KB 上にある. I は, GH 上にもあるのだから, I は KB と GH の交点である.


\triangle ABC は直角三角形で, H は \triangle ABC の外心だから, HB = HA = HC = \sqrt{5}/2 である.

したがって, ピタゴラスの定理から,

\begin{eqnarray} GH &=& \sqrt{3^2+ \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2}\\ &=& \frac{\sqrt{41}}{2} \end{eqnarray}

三角形 IBG と三角形 IKHは相似で,

GI: HI = BG: KH = 3:2 だから,

\displaystyle{ GI = \frac{3\sqrt{41}}{10}}

である. //