ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (220)

例題をやっておく. 私立武蔵高校の 1980 年入試問題らしい.

【問】
図のように三角柱  ABC-DEF があり,  \angle ABC = \angle DEF = 90^\circ,  AB = BE =2,  BC = 1 である. 直線  BE の延長上に,  EG = 1 となる点  G をとる. 線分  AC の中点を  H とし, 線分  GH と平面  BDF の交点を  I とする. このとき, 線分  GI の長さを求めよ.

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【解】

線分  GH を含んでいる, 直線  GB GB 上にはない点  H で決まる平面  P を考える.  H を通る  BG に平行な直線は, 平面  P に含まれている. この平行線は, 平面  BDF と 点  K で交わるので, 点  K は平面  P と平面  BDF の共有点である. また点  B も平面  P と平面  BDF の共有点である. したがって,  I は 直線  KB 上にある.  I は,  GH 上にもあるのだから,  I KB GH の交点である.

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 \triangle ABC は直角三角形で,  H \triangle ABC の外心だから,  HB = HA = HC = \sqrt{5}/2 である.

したがって, ピタゴラスの定理から,

 \begin{eqnarray} 
GH &=& \sqrt{3^2+ \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2}\\
&=& \frac{\sqrt{41}}{2}
\end{eqnarray}

三角形 IBG と三角形 IKHは相似で,

 GI: HI =  BG: KH = 3:2 だから,

 \displaystyle{ GI = \frac{3\sqrt{41}}{10}}

である. //