例題をやっておく. 私立武蔵高校の 1980 年入試問題らしい.
【問】
図のように三角柱 があり,
,
,
である. 直線
の延長上に,
となる点
をとる. 線分
の中点を
とし, 線分
と平面
の交点を
とする. このとき, 線分
の長さを求めよ.
【解】
線分 を含んでいる, 直線
と
上にはない点
で決まる平面
を考える.
を通る
に平行な直線は, 平面
に含まれている. この平行線は, 平面
と 点
で交わるので, 点
は平面
と平面
の共有点である. また点
も平面
と平面
の共有点である. したがって,
は 直線
上にある.
は,
上にもあるのだから,
は
と
の交点である.
は直角三角形で,
は
の外心だから,
である.
したがって, ピタゴラスの定理から,
三角形 と三角形
は相似で,
だから,
である. //