包除原理 を使う入試問題を探していたら, 2023 年の東大の文理共通問題があったのでやってみる. この問題の問 (2) まで解くつもりなら, 問 (1) を (2) につながるようにどう解くかということが大事になる. もちろん問 (2) を捨てる場合にはこの限りではなく,…

「モンモール (Montmort) のめぐりあいの問題」, もっと一般的には「包除原理 (The Principle of Inclusion and Exclusion; PIE)」——高校でも簡単な場合を習うが, シルヴェスター (Sylvester) は形式論理の定理として証明した*1 ——の応用なのだが, ここでは…

条件付き確率の有名問題をいくつか, 簡単に確認して条件付き確率に関する記事はいったん終えよう. 最初は, モンティ・ホール問題. すでによく知られた問題をさらにあれこれと詮索する趣味はないので, 得られる結果のみ書く. その他の問題も, みな同じやり方…

年の旭川医科大学の問題. 定番だが一応やっておく.【問】【解】 悪性の疑い 良性の疑い 異常所見なし 検査陽性 検査陰性とすると,が, 事前確率である. さらに, である. ここで,したがって, ここで,したがって, ここで,したがって,である. ※ //

事前確率として, どのような確率分布が採用されるかが設問に定義されていない場合には, 事前確率をどのように考えるかによって, 異なる条件付き確率がえられることになる. 【問 】 壷の中には つしか球が含まれておらず, それぞれの球の色は白か黒である. こ…

早稲田大学の 年の入試問題だが, いまだにあちらこちらでよく取り上げられている. 条件付き確率の秀逸な例題であり, また忘れ物をした場合には, 最初に訪れた場所から確認していくのが合理的な行動であることを教えてくれる問題でもある (どこから探しても, …

年, 東大理科の問題. 問題を解くより, でどうやって遷移図を描くのか調べる方がはるかに時間がかかった.【問】 【解】 明らかに が偶数の場合しか終状態に到達しえないので, を偶数とし, 回目で, 終状態 または に到達する確率を とする. また, 回目で状態 …

年の一橋大の問題. いまさらだが, 組合せの数 というのは, もちろん 個の要素をもつ集合において 個の要素をもつ部分集合の個数のことをいう. 【問】 【解】 余事象で求める. 枚の識別されたカードから, 枚のカードを選んで並べるという全事象に対して, 先頭…

疲れたので, とても簡単な問題にする. 年の京大, 文理共通問題. 「知恵の輪熊」を読んで癒される.「知恵の輪熊」の可愛らしさは誰にもわかるまい｜些事にこだわり｜蓮實 重彦｜webちくま【問】 から までの自然数を 列に並べる. どの並べかたも同様の確から…

年度はわからないが, 名古屋市大の問題らしい. 長い問題文だが, 個の要素をもつ集合 から 個の要素をもつ集合 への全射写像の個数を求める問題である. 全射なのだから という条件がある. ディユドネが, 「現代数学では, 写像を つのモノと考えることが基本的…

散歩道にいつも見ているのとは別のイイギリがあることに初めて気がついた. どうして, いままで気がつかなかったんだろう.前回の問題は, 実際に練習しないとなかなかコツや本当のところがわからない. のスターリング数は高校では教えないと思うんだが, 入試問…

年, 東大理科後期の問題. 基本的なことを考察させる問題なので, とりあげることにした. 問 は重複順列, 問 は重複組合せ, 問 は, (第 種) スターリング数, 問 は自然数の分割に関連している問である.【問】 【解】 積の法則から 通り. ボールに区別がなく, …

年京大理系後期の問題. 重複組合せを使って, 最小限の場合分けで, すっきり解く.【問】 【解】次の 通りの場合分けをすればよい.イ) ロ) イ) の場合:記事 と同様にして, の組の個数を求めることは, , , , , の の整数解の組の個数を求めることと同じである. …

記事 がきっかけで, メナージュの問題 *1について書いている. 直前の記事を使って, 記事 の入試問題における大人 人, 子ども 人のときの子どもの配置の仕方は, 通りであることを示す. 証明は, 高校数学でも場合の数のところで必ず習う, 集合の包除原理を使っ…

前の記事からの流れでメナージュの問題関連について考察する.この記事では, 重複組合せについて重要な基本を復習しておくことにする., を正の整数としたときに, 未知数 に関する方程式,の負でない整数解の個数は, 重複組合せにより,となる. これから, 正の整…

年宮崎大の問題. それぞれの場合分けごとに, 繊細な差異が生じていることに気がついて, 楽しめる一題. 撹乱順列 (完全順列 / モンモールの問題) よりもさらに条件が複雑である.※ この問題は, その後, Ménage numbers and ladies-first solutions そのもので,…

【問】 絵具を使って正四面体の各面に色を塗る方法について, 次の問に答えよ. ただし, 正四面体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす. また, すべての面に同じ色を塗る方法を含める. 色の絵具のセットから絵具を選んで色を塗る方法は何通りあるか. 色の…