陥没地帯 (307) - ノリの悪い日記

三角形の重心と内心が常に三角形の内部にあるというような基本的なことを高校数学の範囲で証明するには, ベクトルを使うのが明快でよいと思う. 例えば,

「 $\triangle ABC$ において, 点 $P$ が, 直線 $BC$ に関しては頂点 $A$ と同じ側にあり, 直線 $CA$ に関しては頂点 $B$ と同じ側にあり, 直線 $AB$ に関しては頂点 $C$ と同じ側にあるとき, 点 $P$ は $\triangle ABC$ の内部にある」

(「同じ側」とは例えば, 線分 $AP$ が直線 $BC$ と交わらないということである.)

といったような三角形の内部の定義から証明するのはしんどい気がする.

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$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ , $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$

とすると, 点 $P$ が $\triangle OAB$ の内部にあるための必要十分条件は,

$\overrightarrow{OP} = s\vec{a} + t \vec{b}$

$s > 0$ , $t > 0$ , $s+ t <1$

( $s$ , $t$ は実数) だということはすでに学んでいる.

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重心 $G$ の場合は, $\lambda$ , $\mu$ を実数として,

$\begin{align} \overrightarrow{OG} &= \lambda\overrightarrow{OC}\\ &= \frac{\lambda}{2}\vec{a} + \frac{\lambda}{2}\vec{b} \end{align}$

$\begin{align} \overrightarrow{BG} &= \mu\overrightarrow{BD}\\ &= \frac{\mu}{2}\overrightarrow{BA} -\frac{\mu}{2}\vec{b}\\ &= \frac{\mu}{2}\vec{a} -\mu\vec{b} \end{align}$

したがって,

$\displaystyle{ \overrightarrow{OG} = \frac{\mu}{2}\vec{a} + (1-\mu)\vec{b}}$

$\lambda = \mu$
$\lambda =2(1-\mu)$

から,

$\displaystyle{\lambda = \mu = \frac{2}{3}}$

となって,

$\displaystyle{ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}}$

というあたり前の結果が出て, $s= 1/3$ , $t = 1/3$ だから, $s>0$ , $t > 0$ , $s + t = 2/3 < 1$ となって, 重心 $G$ は常に $\triangle ABC$ の内部にあることが証明できた.

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内心 $I$ の場合は, $OA = a$ , $OB = b$ , $AB = c$ とし, 角の $2$ 等分線を単位ベクトルで表わすことにして, $\lambda'$ , $\mu'$ を実数とし,

$\displaystyle{ \overrightarrow{OI} = \frac{\lambda'}{a}\vec{a} + \frac{\lambda'}{b}\vec{b}}$

$\begin{align} \overrightarrow{BI} &= -\frac{\mu'}{b}\vec{b} + \frac{\mu'}{c}\overrightarrow{BA} \\&= \frac{\mu'}{c}\vec{a} -\mu'\left(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)\vec{b} \end{align}$