年, 京大文系の問題. この問題のように垂心とか, 外心とかを位置ベクトルで表せという問題をよく見かける. 表わすのはよいが, そうするといったい何がうれしいのだろう.
【問】
において,
,
,
とする.
の垂心を
とするとき,
を
と
を用いて表わせ.
【解】
平面の基底ベクトルを
,
に定め,
とし, 基底ベクトルにより,
と表わせたとする.
と
は垂直であることと,
と
が垂直であることを使って,
つまり,
,
,
だから,
これを解いて,
,
したがって,
である.
//
※ 外心を とする.
とし, 基底ベクトルにより,
と表わせたとする. を
の中点,
を
の中点とする.
だから,
であり, これを解いて,
,
したがって,
また重心を とし,
とすると,
オイラー線より, なので,
//
※ もっとも普通のやり方で解けば, ,
なので,
,
, 天秤法により,
がすぐわかる. これをわざわざベクトルであらわすと、
で, は線分
を
に内分する点だから,
となる.
//