ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (310)

 2021 年, 京大文系の問題. この問題のように垂心とか, 外心とかを位置ベクトルで表せという問題をよく見かける. 表わすのはよいが, そうするといったい何がうれしいのだろう.

【問】
 \triangle OAB において,  OA = 3,  OB = 2 ,  \angle AOB = 60^{\circ} とする.  \triangle OAB の垂心を  H とするとき,  \overrightarrow{OH} \overrightarrow{OA} \overrightarrow{OB} を用いて表わせ.

【解】

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平面の基底ベクトルを

 \overrightarrow{OA} = \vec{a} ,  \overrightarrow{OB} = \vec{b}

に定め,

 \overrightarrow{OH} = \vec{h}

とし, 基底ベクトルにより,

 \vec{h} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}

と表わせたとする.

 \vec{h} \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} は垂直であることと,  \overrightarrow{AH} = \vec{h} - \vec{a} \vec{b} が垂直であることを使って,

 \vec{h} \cdot (\vec{b}- \vec{a}) = 0
 (\vec{h}- \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0

つまり,

 \vec{h} \cdot \vec{a} =   \vec{a}\cdot \vec{b}
 \vec{h} \cdot \vec{b} =  \vec{a} \cdot \vec{b}

 |\vec{a}|^2 = 9,  |\vec{b}|^2 = 4,  \vec{a}\cdot \vec{b} = 3 だから,

 3\lambda + \mu = 1
 3\lambda + 4 \mu = 3

これを解いて,

 \displaystyle{\lambda = \frac{1}{9}},  \displaystyle{\mu = \frac{2}{3}}

したがって,

 \displaystyle{
\overrightarrow{OH} = \frac{1}{9} \overrightarrow{OA} +  \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}}

である.
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※ 外心を  P とする.

 \overrightarrow{OP} = \vec{p}

とし, 基底ベクトルにより,

 \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}

と表わせたとする.  M OA の中点,  N OB の中点とする.

 \vec{p} \cdot \vec{a} = OM \cdot OA
 \vec{p} \cdot \vec{b} = ON \cdot OB

だから,

 6s + 2t = 3
 3s + 4t = 2

であり, これを解いて,

 \displaystyle{s = \frac{4}{9}},  \displaystyle{t = \frac{1}{6}}

したがって,

 \displaystyle{
\vec{p} = \frac{4}{9} \vec{a} +  \frac{1}{6} \vec{b}}

また重心を  G とし,

 \overrightarrow{OG} = \vec{g}

とすると,

 \displaystyle{
\vec{g} = \frac{1}{3} \vec{a} +  \frac{1}{3} \vec{b}}

 \overrightarrow{PG} = \vec{g} - \vec{p}

オイラー線より,  \overrightarrow{PH} = 3 \overrightarrow{PG}
なので,

 \begin{eqnarray}
\vec{h} &=& \vec{p} + 3(\vec{g}- \vec{p})
\\&=& 3\vec{g} -2 \vec{p}
\\&=& \vec{a}+ \vec{b} -\frac{8}{9} \vec{a} -  \frac{1}{3}
\\&=& \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}
\end{eqnarray}

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※ もっとも普通のやり方で解けば,  OP = 1,  OQ = 3/2 なので, BQ:QO = 1:3,  OP:PA = 1:2, 天秤法により, BH: HP =1:2 がすぐわかる. これをわざわざベクトルであらわすと、

 \displaystyle{\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\vec{a}}

で,  H は線分  BP 1:2 に内分する点だから,

 \begin{eqnarray}
\vec{h} &=& \vec{b} + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\vec{a} - \vec{b}\right)\\
&=& \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}
\end{eqnarray}

となる.

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