陥没地帯 (310) - ノリの悪い日記

$2021$ 年, 京大文系の問題. この問題のように垂心とか, 外心とかを位置ベクトルで表せという問題をよく見かける. 表わすのはよいが, そうするといったい何がうれしいのだろう.

【問】
$\triangle OAB$ において, $OA = 3$ , $OB = 2$ , $\angle AOB = 60^{\circ}$ とする. $\triangle OAB$ の垂心を $H$ とするとき, $\overrightarrow{OH}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表わせ.

【解】

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平面の基底ベクトルを

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ , $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$

に定め,

$\overrightarrow{OH} = \vec{h}$

とし, 基底ベクトルにより,

$\vec{h} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$

と表わせたとする.

$\vec{h}$ と $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ は垂直であることと, $\overrightarrow{AH} = \vec{h} - \vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直であることを使って,

$\vec{h} \cdot (\vec{b}- \vec{a}) = 0$
$(\vec{h}- \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$

つまり,

$\vec{h} \cdot \vec{a} = \vec{a}\cdot \vec{b}$
$\vec{h} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b}$

$|\vec{a}|^2 = 9$ , $|\vec{b}|^2 = 4$ , $\vec{a}\cdot \vec{b} = 3$ だから,

$3\lambda + \mu = 1$
$3\lambda + 4 \mu = 3$

これを解いて,

$\displaystyle{\lambda = \frac{1}{9}}$ , $\displaystyle{\mu = \frac{2}{3}}$

したがって,

$\displaystyle{ \overrightarrow{OH} = \frac{1}{9} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}}$

である.
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※ 外心を $P$ とする.

$\overrightarrow{OP} = \vec{p}$

とし, 基底ベクトルにより,

$\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}$

と表わせたとする. $M$ を $OA$ の中点, $N$ を $OB$ の中点とする.

$\vec{p} \cdot \vec{a} = OM \cdot OA$
$\vec{p} \cdot \vec{b} = ON \cdot OB$

だから,

$6s + 2t = 3$
$3s + 4t = 2$

であり, これを解いて,

$\displaystyle{s = \frac{4}{9}}$ , $\displaystyle{t = \frac{1}{6}}$

したがって,

$\displaystyle{ \vec{p} = \frac{4}{9} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}}$

また重心を $G$ とし,

$\overrightarrow{OG} = \vec{g}$

とすると,

$\displaystyle{ \vec{g} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}}$

$\overrightarrow{PG} = \vec{g} - \vec{p}$

オイラー線より, $\overrightarrow{PH} = 3 \overrightarrow{PG}$ なので,

$\begin{eqnarray} \vec{h} &=& \vec{p} + 3(\vec{g}- \vec{p}) \\&=& 3\vec{g} -2 \vec{p} \\&=& \vec{a}+ \vec{b} -\frac{8}{9} \vec{a} - \frac{1}{3} \\&=& \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} \end{eqnarray}$

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※ もっとも普通のやり方で解けば, $OP = 1$ , $OQ = 3/2$ なので, $BQ:QO = 1:3$ , $OP:PA = 1:2$ , 天秤法により, $BH: HP =1:2$ がすぐわかる. これをわざわざベクトルであらわすと、

$\displaystyle{\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\vec{a}}$

で, $H$ は線分 $BP$ を $1:2$ に内分する点だから,

$\begin{eqnarray} \vec{h} &=& \vec{b} + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\vec{a} - \vec{b}\right)\\ &=& \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} \end{eqnarray}$

となる.

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