ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

雑記

初等幾何 中学数学

神奈川県の去年の公立高校入試問題である。

【解】

AF:FB = 2:1 だから,

\displaystyle{\triangle DFB = \frac{1}{3} \cdot \triangle DAB}

ところで, \triangle DAB と \triangle EDC は相似である (下図).

ピタゴラスの定理により

AD = \sqrt {AE^2+ED^2}= \sqrt {13}

だから,

\begin{align} \triangle DAB:\triangle EDC &= AD^2 : DE^2 \\&= 13: 9\end{align}

これと

\displaystyle{\triangle EDC = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot ED =\frac{3}{2}}

より,

\displaystyle{\triangle DAB= \frac{13}{9} \cdot \frac{3}{2}= \frac{13}{6}}

したがって,

\displaystyle{\triangle DFB= \frac{13}{18}}



//

【別解】

下の図のように, B から ED に垂線を下ろしその足を G とする.

\triangle DGB と \triangle AED は相似 である.

GB = 1
\displaystyle{DG = \frac{2}{3}}

\triangle FGB と \triangle FEA は相似であり, 相似比は 1:2 だから,

\displaystyle{GF= \frac{1}{3}\left(3-\frac{2}{3}\right) =\frac{7}{9}}

\displaystyle{DF =DG + GF = \frac{13}{9}}


\displaystyle{\triangle DFB= \frac{1}{2}\cdot DF \cdot GB = \frac{13}{18}}



//