ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (294)

初等幾何高校数学

$2002$ 年センター試験, 数学 $1A$ 追試験から. 最初はシムソン線の証明. なお, 記事 $(183)$ には複素平面を使ったシムソンの定理とスタイネルの定理の証明をあげておいた.

【問】
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【解】
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$\angle GDB = \angle GEB = 90^{\circ}$

$\angle BED = \angle BGD$

$\angle CEF = \angle CGF$

$\angle BED = \angle CEF$

※ $\angle DEG = \angle DBG = \angle FCG$ で, $\angle FEG + \angle FCG = \angle FEG + \angle DEG = 180^{\circ}$ から証明してもよい.//

$\angle A$ が直角のとき, 四辺形 $ADGF$ は長方形. $DF = AG$

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$AG$ が円 $O$ の直径になるとき, $\angle ABG = \angle ACG = 90^{\circ}$ から, $D$ は $B$ に, $F$ は $C$ に一致する. このとき, $BG = AC$ , $CG = AB$ と記事 $(292)$ でとりあげた $1933$ 年の慶應義塾大学予科の入試問題の結果から, $E$ は線分 $BC$ を $AC^2: AB^2$ の比に内分する.

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