ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (303)

初等幾何 高校数学

「 \triangle ABC のそれぞれの内角の3 等分線の交点のうち, 辺に近い 3 点を結んでできる三角形は正三角形である」という, 名高いモーリーの定理. 日本では, 1923 年頃によく知られるようになり, 林鶴一が 1924 年に, フランク・モーリーから林宛の書簡を添えて紹介記事を書いているのを見たことがある. 下の証明は同一法によるものである.

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\triangle ABC において, \angle B の三等分線と \angle C の三等分線の交点を図のように, D, G とおく.

\angle DBC = \angle GBD = \angle ABG = \beta
\angle GCA = \angle DCG = \angle BCD = \gamma

とする. D は, \triangle GBC の内心であるので, 記事 (301) で注意したように,

\displaystyle {\angle GDB = 90^{\circ} + \gamma}

である. BG について, D と対称な点を M とし, CG について, D と対称な点を N とする.

ここで, BG 上に, \angle EDG = 30^{\circ} となるように点 E をとる. 同様に, CG 上に, \angle FDG = 30^{\circ} となるように点 F をとる.

このとき, \triangle EDG と \triangle FFG は合同であることがわかるので, DE = DF であり, したがって \triangle DEF は正三角形である. また, FD = FN であるから, D,E, N は, F を中心とする円の周上にある. したがって,

\displaystyle {\angle DNE = 30^{\circ}}

である.

\displaystyle {\angle DNC = 90^{\circ} - \gamma}

したがって,

\displaystyle {\angle ANE \\= 180^{\circ} - \angle DNE - \angle DNC \\= 60^{\circ} + \gamma}

また,

\displaystyle {\angle EMB \\= \angle EDB \\=\angle GDB - \angle GDE \\=60^{\circ} + \gamma}

したがって,

\displaystyle {\angle ANE = \angle EMB}

つまり, A, M, E, N は, 同一円周上にある. 同様にして, A, M, F, N も, 同一円周上にある. したがって, A, M, E, F, N は同一円周上にある.

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ME = EF = FN であるから, AE, AF は \angle BAC の三等分線と一致する. A の三等分線と A, M, N を通る円の交点 E', F' はただひとつに決まるので, E'=E, F'= F であることがいえ,

\angle E'DG = \angle F'DG = 30^{\circ}

となって, \triangle DE'F' は正三角形である.
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