ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (311)

初等幾何 高校数学

大正 13 年の幾何の問題. 左横書きの採用というのは, 数式がある以上, ほぼ必然だったんだということに今更気がついた. ちなみに新聞の見出しが右横書きから左横書きに変わったのは, 戦後のことである.

【問】
三角形 ABC ノ重心 G ヲ通リテ直線 XY ヲ引キ二邊 AB, AC ト夫々 X, Y ニ於テ交ワラシムルトキハ次ノ關係アルコトヲ證明セヨ.

\displaystyle{\frac{BX}{AX} + \frac{CY}{AY} =1}


【解】
頂点 A, B, C から, XY に垂線を下ろし, その足をそれぞれ A', B', C' とする. \triangle XAA' と \triangle XBB' は相似だから,

\displaystyle{\frac{BX}{AX} = \frac{BB'}{AA'}}

\triangle YAA' と \triangle YCC' は相似だから,

\displaystyle{\frac{CY}{AY} = \frac{CC'}{AA'}}

したがって,

\displaystyle{\frac{BX}{AX} +\frac{CY}{AY} = \frac{BB' + CC'}{AA'}}

BC の中点を P とすると, AP は重心 G を通る. P から XY に下ろした垂線の足を Q とする. \triangle GAA' と \triangle GPQ は相似である. G は重心なので, AG: GP = 2:1 だから,

AA' = 2\cdot PQ

また, BB' \parallel PQ \parallel CC' で, P は, BC の中点だから,

\displaystyle{PQ = \frac{BB' + CC'}{2}}

したがって,

AA' = BB' + CC'

がいえ,

\displaystyle{\frac{BX}{AX} + \frac{CY}{AY} =1}

となる.
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