ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (312)

初等幾何 高校数学

半角の公式の図形的証明.

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\triangle ABC の内心を I, \angle A の内側にある傍心を I_1 とする. BC = a, CA = b, AB = c とする. また, I から, AB に下ろした垂線の足を D, I_1 から, AB の延長に下ろした垂線の足を E とする.

\displaystyle{ \sin \frac{A}{2} = \frac{ID}{AI} = \frac{I_1E}{AI_1} }

だから,

\displaystyle{ \sin^2 \frac{A}{2} = \frac{ID \cdot IE_1}{AI \cdot AI_1} }

ここで,

\displaystyle{\angle AI_1C = \frac{1}{2}\angle B }

から, \triangle ABI と \triangle AI_1C は相似である. したがって, AB: AI_1 =AI: AC , つまり,

AI \cdot AI_1 = bc

また, \angle IBI_1 = 90^{\circ} だから, \triangle BEI_1 と \triangle IDB は相似である. したがって, ID: DB =BE: EI_1 , つまり,

ID \cdot I_1E =DB \cdot BE

以上から, 2s = a + b + c として,

\displaystyle{ \sin^2 \frac{A}{2} = \frac{DB \cdot BE}{bc} = \frac{(s-b) (s-c)}{bc}}

なので,

\displaystyle{ \sin \frac{A}{2} = \sqrt{ \frac{(s-b) (s-c)}{bc}}}

である.

同様にして,

\displaystyle{ \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{AD \cdot AE}{AI \cdot AI_1} = \frac{s (s-a)}{bc}}

なので,

\displaystyle{ \cos \frac{A}{2} = \sqrt{ \frac{s(s-a)}{bc}}}

である.
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