ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (312)

半角の公式の図形的証明.

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 \triangle ABC の内心を  I,  \angle A の内側にある傍心を  I_1 とする.  BC = a,  CA = b,  AB = c とする. また,  I から,  AB に下ろした垂線の足を  D,  I_1 から,  AB の延長に下ろした垂線の足を  E とする.

 \displaystyle{
\sin \frac{A}{2} = \frac{ID}{AI} = \frac{I_1E}{AI_1}
}

だから,

\displaystyle{
 \sin^2 \frac{A}{2} = \frac{ID \cdot IE_1}{AI \cdot AI_1}
}

ここで,

 \displaystyle{\angle AI_1C = \frac{1}{2}\angle B
}

から,  \triangle ABI \triangle AI_1C は相似である. したがって,  AB: AI_1 =AI: AC , つまり,

 AI \cdot AI_1 = bc

また,  \angle IBI_1 = 90^{\circ} だから,  \triangle BEI_1 \triangle IDB は相似である. したがって,  ID: DB =BE: EI_1 , つまり,

 ID \cdot I_1E =DB \cdot BE

以上から,  2s = a + b + c として,

\displaystyle{
 \sin^2 \frac{A}{2} = \frac{DB \cdot BE}{bc} = \frac{(s-b) (s-c)}{bc}}

なので,

\displaystyle{
 \sin \frac{A}{2} = \sqrt{ \frac{(s-b) (s-c)}{bc}}}

である.

同様にして,

\displaystyle{
 \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{AD \cdot AE}{AI \cdot AI_1} =  \frac{s (s-a)}{bc}}

なので,

\displaystyle{
 \cos \frac{A}{2} = \sqrt{ \frac{s(s-a)}{bc}}}

である.
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