ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (302)

初等幾何 高校数学

2019 年のセンター試験の問題. ジェルゴンヌ点が出てくるのでとりあげてみた. ナーゲル点とジェルゴンヌ点は, 等距離共役点である.

【問】
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【解】
2s = 4 + 7 + 5
s =8

とおく. 内接円の半径を r とすれば,

8r = \sqrt{8(8-4)(8-7)(8-5)} =4\sqrt{6}

だから,

\displaystyle{r= \frac{\sqrt{6}}{2}}

AD = AE=s -a= 8-7=1

\displaystyle{DE^2 =1^2 + 1^2 -2\cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{5})=\frac{12}{5}}

から,

\displaystyle{DE= \frac{2\sqrt{15}}{5}}

BQ = s -b = 8 -5 = 3, CQ =4

\displaystyle{\frac{BQ}{CQ}= \frac{3}{4}}

P は, ジェルゴンヌ点で, Q は内接円と BC の接点である.

\displaystyle{IQ=r= \frac{\sqrt{6}}{2}}

接弦定理から,

\angle DFE = \angle DEA

\triangle ADE は二等辺三角形だから,

\displaystyle{\cos \angle DFE= \frac{\sqrt{15}}{5}}
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