シムソンの定理の初等幾何による証明が出てきたのでスタイネル (Steiner) の定理の初等幾何による証明もみておく.
【定理】
の垂心を
とし, 外接円周上の
点を
とすると, 点
の
に関するシムソン線は線分
の中点を通る.
【証明】
最初に記号の定義をする.
シムソン線上の点 ,
,
をそれぞれ,
から
,
,
に下ろした垂線の足とする.
の中点を
とする.
から
に下ろした垂線の足を
とし,
が再び外接円と交わる点を
とする. また,
から
に下ろした垂線の足を
とする.
を対称軸として
の対称点を
とし, 直線
が再び外接円と交わる点を
とする.
次に証明の方針であるが,
は
の辺
の中点と,
の中点を結んだ線であるから, 中点連結定理により,
と
は平行である. したがって,
と
が平行であることが証明できれば,
はシムソン線
上にあるといえる.
と
が平行であることの証明:
であることを示すことによって証明する.
まず, なので, 点
,
,
,
は同一円周上にある。
したがって, であるが,
なので,
である.
と
は平行であるから,
である. 四角形 は円に内接しているから,
したがって,
である. これから, がいえると,
がいえ,
と
が平行であることが証明できる.
であることの証明:
と
は相似だから,
である. ところが,
なので,
である. したがって,
と
は合同であり,
である. したがって,
と
は
について対称であり, このことから,
であることがいえた.
以上から と
は平行であり, したがって,
はシムソン線上にある.
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