年京大乙理系の問題. 同一法でも記事
で触れた内容が示せるという, とても面白い問題である. これは幾何の問題として, 国際的にみても, 歴史的にみても恥ずかしくないレベルにあると思う. ちなみに,
年の数学オリンピックは, 日本は国別順位
位だったんだなあ. 順位なんかどうでもいいけれど, なにがしかのことはわかる.
【問】
【解】
まず, が同一円周上にあるとする.
と
は三辺が等しいので合同であり, したがって,
である. また, を中心とする円の上で,
から,
となる. また,
から,
がいえ, したがって, ,
,
は共線である. 同様に,
は
,
の上にもあるので,
は
,
,
の交点である.
で,
だったから,
となり, は,
の
等分線である. 同様にして,
,
は, それぞれ,
,
の
等分線であり,
は
の内心に一致する.
逆に, が
の内心として与えられた場合, (
直線上にない)
,
,
を通る円,
,
,
を通る円,
,
,
を通る円はそれぞれ, ただひとつ決まる. したがって, 各円の中心は,
,
,
に一致し,
の外接円上にある.
※ 逆は,
で,
なので,
であることから, が
の外接円上にあることをいってもよい.
,
についても同様である.
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