陥没地帯 (304) - ノリの悪い日記

$2009$ 年京大乙理系の問題. 同一法でも記事 $(301)$ で触れた内容が示せるという, とても面白い問題である. これは幾何の問題として, 国際的にみても, 歴史的にみても恥ずかしくないレベルにあると思う. ちなみに, $2009$ 年の数学オリンピックは, 日本は国別順位 $2$ 位だったんだなあ. 順位なんかどうでもいいけれど, なにがしかのことはわかる.

【問】
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【解】
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まず, $A, B, C, A', B', C'$ が同一円周上にあるとする. $\triangle A'BC'$ と $\triangle A'PC'$ は三辺が等しいので合同であり, したがって,

$\angle PC'A' = \angle BC'A'$

である. また, $C'$ を中心とする円の上で,

$\angle BC'P = 2\angle BAP$

から,

$\angle BAP =\angle BC'A'$

となる. また,

$\angle BAA' = \angle BC'A'$

から,

$\angle BAP = \angle BAA'$

がいえ, したがって, $A$ , $P$ , $A'$ は共線である. 同様に, $P$ は $BB'$ , $CC'$ の上にもあるので, $P$ は $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ の交点である.

$\angle BC'A' = \angle BAA'$
$\angle PC'A' = \angle CC'A' = \angle CAA'$

で,

$\angle PC'A' = \angle BC'A'$

だったから,

$\angle BAA' = \angle CAA'$

となり, $AA'$ は, $\angle BAC$ の $2$ 等分線である. 同様にして, $BB'$ , $CC'$ は, それぞれ, $\angle CBA$ , $\angle ACB$ の $2$ 等分線であり, $P$ は $\triangle ABC$ の内心に一致する.

逆に, $P$ が $\triangle ABC$ の内心として与えられた場合, ( $1$ 直線上にない) $B$ , $P$ , $C$ を通る円, $C$ , $P$ , $A$ を通る円, $A$ , $P$ , $B$ を通る円はそれぞれ, ただひとつ決まる. したがって, 各円の中心は, $A'$ , $B'$ , $C'$ に一致し, $\triangle ABC$ の外接円上にある.