ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (304)

2009 年京大乙理系の問題. 同一法でも記事 (301) で触れた内容が示せるという, とても面白い問題である. これは幾何の問題として, 国際的にみても, 歴史的にみても恥ずかしくないレベルにあると思う. ちなみに, 2009 年の数学オリンピックは, 日本は国別順位 2 位だったんだなあ. 順位なんかどうでもいいけれど, なにがしかのことはわかる.

【問】
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【解】
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まず,  A, B, C, A', B', C' が同一円周上にあるとする.  \triangle A'BC'  \triangle A'PC' は三辺が等しいので合同であり, したがって,

 \angle PC'A' = \angle BC'A'

である. また,  C' を中心とする円の上で,

 \angle BC'P = 2\angle BAP

から,

 \angle BAP =\angle BC'A'

となる. また,

 \angle BAA' =  \angle BC'A'

から,

\angle BAP = \angle BAA'

がいえ, したがって,  A, P, A' は共線である. 同様に,  P BB',  CC' の上にもあるので,  P AA',  BB',  CC' の交点である.

 \angle BC'A' = \angle BAA'
 \angle PC'A' = \angle CC'A' = \angle CAA'

で,

 \angle PC'A' = \angle BC'A'

だったから,

 \angle BAA' = \angle CAA'

となり,  AA' は,  \angle BAC2 等分線である. 同様にして,  BB',  CC' は, それぞれ,  \angle CBA,  \angle ACB2 等分線であり,  P \triangle ABC の内心に一致する.

逆に,  P \triangle ABC の内心として与えられた場合, (1 直線上にない)  B,  P,  C を通る円,  C,  P,  A を通る円,  A,  P,  B を通る円はそれぞれ, ただひとつ決まる. したがって, 各円の中心は,  A', B',  C' に一致し,  \triangle ABC の外接円上にある.

※ 逆は,

 \angle BA'C =\angle BA'P + \angle CA'P

で,

 \angle BA'P = \angle ACB
 \angle CA'P = \angle ABC

なので,

 \angle BAC + \angle BA'C = 180^{\circ}

であることから,  A' \triangle ABC の外接円上にあることをいってもよい.  B',  C' についても同様である.
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