陥没地帯 (297) - ノリの悪い日記

「発見的研究法」と副題がついている清宮俊雄の著書『幾何学』にあるターナーの定理の証明. 「清宮の定理」は, 直前の記事にあるようにターナー (Turner) の定理の拡張によって得られたとされている.

【定理】
$\triangle ABC$ の外接円 $O$ に関してたがいに反転をなす $2$ 点を $P$ , $Q$ とし, $3$ 辺 $BC$ , $CA$ , $AB$ に関する点 $P$ の対称点をそれぞれ $L$ , $M$ , $N$ とする. $3$ 直線 $QL$ , $QM$ , $QN$ が $BC$ , $CA$ , $AB$ と交わる点をそれぞれ $X$ , $Y$ , $Z$ とすると, $3$ 点 $X$ , $Y$ , $Z$ は $1$ 直線上にある.

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【証明】
証明の方針は, $\triangle ABC$ にメネラウスの定理の逆を適用して, $3$ 点 $X$ , $Y$ , $Z$ が同一直線上にあることを示すことである.

$\displaystyle{ \frac{AY}{CY}\cdot \frac{CX}{BX} \cdot \frac{BZ}{ZA} \\= \frac{\triangle QAM}{\triangle QCM}\cdot \frac{\triangle QCL}{\triangle QBL} \cdot \frac{\triangle QBN}{\triangle QAN} }$
$\displaystyle{ = \frac{\triangle QAM}{\triangle QBL}\cdot \frac{\triangle QCL}{\triangle QAN} \cdot \frac{\triangle QBN}{\triangle QCM} }$

ここで, 最後の式は $2$ 番目の式の分母の順序を入替えただけである.

ここで, $\angle QAM = \angle QBL$ であることを示す.

円 $O$ について $2$ 点 $P$ , $Q$ は互いに反転の関係にあるから,

$OP \cdot OQ = OB ^2$

方べきの定理の逆により, $B$ , $P$ , $Q$ は同一円周上にあり, $OB$ はこの円の接線であるから, 接弦定理により,

$\angle OBP = \angle OQB$

$PQ$ と円 $O$ の交点を $S$ とすると, $OB$ と $OS$ はともに円 $O$ の半径だから, $OB = OS$ であり,

$\angle OBS = \angle OSB$

したがって,

$\angle OBS - \angle OBP = \angle OSB - \angle OQB$

つまり,

$\angle PBS = \angle QBS$

$L$ は $BC$ を軸として $P$ を対称移動した点だから,

$\angle PBL = 2\angle PBC$

したがって,

$\begin{eqnarray} \angle QBL &=& 2(\angle PBS + \angle PBC) \\ &=& 2 \angle SBC \end{eqnarray}$

上と同様にして,

$\begin{eqnarray} \angle QAM &=& \angle PAM -\angle PAQ \\&=& 2(\angle PAC - \angle PAS) \\&=& 2\angle SAC \end{eqnarray}$

円周角から,

$\angle SBC = \angle SAC$

なので,

$\angle QAM = \angle QBL$

がいえた. このことから,

$\begin{eqnarray} \frac{\triangle QAM}{\triangle QBL} &=& \frac{AQ\cdot AM}{BQ\cdot BL} \\&=& \frac{AQ\cdot AP}{BQ\cdot BP} \end{eqnarray}$

同様にして,

$\begin{eqnarray} \frac{\triangle QCL}{\triangle QAN} &=& \frac{CQ\cdot CL}{AQ\cdot AN} \\&=& \frac{CQ\cdot CP}{AQ\cdot AP} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \frac{\triangle QBN}{\triangle QCM} &=& \frac{BQ\cdot BN}{CQ\cdot CM} \\&=& \frac{BQ\cdot BP}{CQ\cdot CP} \end{eqnarray}$

以上から,

$\displaystyle{ \frac{AY}{CY}\cdot \frac{CX}{BX} \cdot \frac{BZ}{ZA} \\= \frac{AQ\cdot AP}{BQ\cdot BP}\cdot \frac{CQ\cdot CP}{AQ\cdot AP} \cdot \frac{BQ\cdot BP}{CQ\cdot CP} \\=1 }$

よってメネラウスの定理の逆により, $3$ 点 $X$ , $Y$ , $Z$ は $1$ 直線上にある.
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