「発見的研究法」と副題がついている清宮俊雄の著書『幾何学』にあるターナーの定理の証明. 「清宮の定理」は, 直前の記事にあるようにターナー (Turner) の定理の拡張によって得られたとされている.
【定理】
の外接円
に関してたがいに反転をなす
点を
,
とし,
辺
,
,
に関する点
の対称点をそれぞれ
,
,
とする.
直線
,
,
が
,
,
と交わる点をそれぞれ
,
,
とすると,
点
,
,
は
直線上にある.
【証明】
証明の方針は, にメネラウスの定理の逆を適用して,
点
,
,
が同一直線上にあることを示すことである.
ここで, 最後の式は 番目の式の分母の順序を入替えただけである.
ここで, であることを示す.
円 について
点
,
は互いに反転の関係にあるから,
方べきの定理の逆により, ,
,
は同一円周上にあり,
はこの円の接線であるから, 接弦定理により,
と円
の交点を
とすると,
と
はともに円
の半径だから,
であり,
したがって,
つまり,
は
を軸として
を対称移動した点だから,
したがって,
上と同様にして,
円周角から,
なので,
がいえた. このことから,
同様にして,
以上から,
よってメネラウスの定理の逆により, 点
,
,
は
直線上にある.
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