ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

2023 年度神奈川県公立高校入試問題から

初等幾何 中学数学

今日は神奈川公立高校入試だったが, 問題がもう公開されていた. 数学の次の問題は, 以前紹介した 2019 年の問題と同様に面積比を使って長さの比を求めれば容易に解ける.

【解】
台形 ABCD の面積を単位量にとって 1 (倍) とする.

まず,

AI: IE = 1:3

は, AG : BE= 1:3 と相似からすぐにわかる.

次に, AH:HE は BF と AD を延長して相似を使っても求めることができるが,

AH: HE = \triangle ABF: \triangle EBF

で求めてみる.

\displaystyle{\triangle BDC =\frac{2}{3}}, \displaystyle{\triangle ADC =\frac{1}{3}}

なので,

\displaystyle{\triangle ADF = \triangle ADC \times \frac{1}{2} =\frac{1}{6}}
\displaystyle{\triangle BFC=\triangle BDC \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}}

したがって,

\displaystyle{ \triangle ABF = 1-\frac{1}{6}- \frac{1}{3} = \frac{1}{2}}

また,

\displaystyle{ \triangle EBF =\triangle BFC \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}}

したがって,

\displaystyle{AH: HE = \frac{1}{2}: \frac{1}{4} = 2: 1 }

連比を求めて,

AI: IH: HE = 3:5:4

となる.

\displaystyle{ \triangle ABE = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}}

だから,

\displaystyle {S = \triangle ABE \times \frac{5}{12} = \frac{5}{24}}

\displaystyle{T = \triangle BFC - \triangle BHE \\ = \frac{1}{3} - \triangle ABE \times \frac{4}{12} \\= \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}}

以上より,

\displaystyle{S: T = \frac{5}{24} : \frac{1}{6}= 5:4}

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