陥没地帯 (296) - ノリの悪い日記

シムソン線をなす点 $D$ , $E$ , $F$ を点 $P$ を相似の中心として $2$ 倍の相似比で相似変換した点 $X$ , $Y$ , $Z$ を結んだ直線をスタイネル (シュタイナー) 線という. なぜ, シムソン線を相似変換しただけの直線に名前がついているかというと, この直線は, 直前の記事で示した $\triangle ABC$ の垂心を通る直線 $HG$ (直前の記事の図参照) と一致するからだろう.

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$P$ とは別に外接円周上に任意の点 $Q$ をとり, 直線 $QX$ と $BC$ の交点を $H$ , 直線 $QY$ と, $AC$ の交点を $J$ , 直線 $QZ$ と $AB$ の交点を $G$ とすれば, $G$ , $H$ , $J$ はまた一直線上にある. これが「清宮の定理」である.

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※ “M. K.” の署名は, 國枝元治のものだと思われる. また「米国の一中学生の得たるピタゴラスの定理の証明」とは, 下図のように, 直線 $BC$ 上に $BD = BE = BA$ となるよう点 $D$ , $E$ をとると, $\triangle ACD$ と $\triangle ECA$ は相似であることがわかるので,

$\begin{align} \frac{CD}{AC} &= \frac{AC}{CE} \\ \frac{BC-BD}{AC}&= \frac{AC}{BC+BE} \\ \frac{BC-AB}{AC} &= \frac{AC}{BC + AB} \\ BC^2 &= AB^2 + AC^2 \end{align}$

として証明するものである. 清宮の回想によれば, 課題で出された生徒たちによるピタゴラスの定理の様々な証明が学校の廊下の壁に貼り出されていたそうである.

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