ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (308)

京大文系 2011 年のやさしい問題. しかも, 記事 (305) ですでにやった内容だが, いろいろな求め方があるので, 別解としてあげておく. 半角の公式はすぐに忘れるが, 忘れたら都度導出していれば, そのうち自然に覚えてしまう.

【問】

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【解】
 BC = a=11,  CA = b=10,  AB =c=12 とおく.  AD = x とすると,

 \displaystyle{\frac{1}{2}(b+c)x\sin \frac{A}{2} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}

 \displaystyle{x= \frac{2 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{(b+c)\sin \frac{A}{2}}}

 \displaystyle{\cos A = 1 -2 \sin^2 \frac{A}{2}}

だから,

 \displaystyle{
2\sin^2 \frac{A}{2} 
\\= 1 - \cos A
\\= 1- \frac{b^2 + c ^2 -a^2}{2bc}
\\= \frac{a^2 - (b -c)^2}{2bc}
\\= \frac{(a+ b - c)(a- b + c)}{2bc}
\\=2 \frac{(s-b)(s-c)}{bc}
}

したがって,

 \displaystyle{
\sin \frac{A}{2} =\sqrt{ \frac{(s-b)(s-c)}{bc}}
}

よって,

 \displaystyle{x = \frac{2\sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}}

 b + c = 2 \cdot 11

 2\sqrt{bcs(s-a)} 
\\= \sqrt{bc(b+c+a)(b+ c -a)}
\\= \sqrt{10 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 11^2}
\\= 2 \cdot 3 \cdot 11 \sqrt{10}

以上から,

 x = 3 \sqrt{10}
//

※ もっと簡単には,

 \displaystyle{\frac{1}{2}(b+c)x\sin \frac{A}{2} = \frac{1}{2}bc\sin A}

から,

 \displaystyle{x = \frac{2bc}{b+c}\cos \frac{A}{2}}

 \displaystyle{
\cos \frac{A}{2} =\sqrt{ \frac{s(s-a)}{bc}}
}

だから,

 \displaystyle{x = \frac{2\sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}}

でよい. //