ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (308)

初等幾何 高校数学

京大文系 2011 年のやさしい問題. しかも, 記事 (305) ですでにやった内容だが, いろいろな求め方があるので, 別解としてあげておく. 半角の公式はすぐに忘れるが, 忘れたら都度導出していれば, そのうち自然に覚えてしまう.

【問】

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【解】
BC = a=11, CA = b=10, AB =c=12 とおく. AD = x とすると,

\displaystyle{\frac{1}{2}(b+c)x\sin \frac{A}{2} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}

\displaystyle{x= \frac{2 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{(b+c)\sin \frac{A}{2}}}

\displaystyle{\cos A = 1 -2 \sin^2 \frac{A}{2}}

だから,

\displaystyle{ 2\sin^2 \frac{A}{2} \\= 1 - \cos A \\= 1- \frac{b^2 + c ^2 -a^2}{2bc} \\= \frac{a^2 - (b -c)^2}{2bc} \\= \frac{(a+ b - c)(a- b + c)}{2bc} \\=2 \frac{(s-b)(s-c)}{bc} }

したがって,

\displaystyle{ \sin \frac{A}{2} =\sqrt{ \frac{(s-b)(s-c)}{bc}} }

よって,

\displaystyle{x = \frac{2\sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}}

b + c = 2 \cdot 11

2\sqrt{bcs(s-a)} \\= \sqrt{bc(b+c+a)(b+ c -a)} \\= \sqrt{10 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 11^2} \\= 2 \cdot 3 \cdot 11 \sqrt{10}

以上から,

x = 3 \sqrt{10}
//

※ もっと簡単には,

\displaystyle{\frac{1}{2}(b+c)x\sin \frac{A}{2} = \frac{1}{2}bc\sin A}

から,

\displaystyle{x = \frac{2bc}{b+c}\cos \frac{A}{2}}

\displaystyle{ \cos \frac{A}{2} =\sqrt{ \frac{s(s-a)}{bc}} }

だから,

\displaystyle{x = \frac{2\sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}}

でよい. //