京大 年, 理系甲の問題. いろいろな解き方があるなあ. 時間に余裕がないときは, 解
で終わらしてしまうと思う.
【問】
において,
の二等分線とこの三角形の外接円との交点で
と異なる点を
とする. 同様に,
,
の二等分線とこの外接円との交点をそれぞれ,
,
とする. このとき
直線
,
,
は
点
で交わり, この点
は三角形の垂心と一致することを証明せよ.
【解 】
直線 ,
,
は,
の内心なので,
点
で交わる.
記事 で触れたように,
の内心は,
つの傍心
,
,
が作る三角形
の垂心である. したがって,
は,
の垂心である.
と
は,
を相似の中心として, 相似の位置にある (相似比は
). したがって,
は
の垂心である.
//
【解 】
と
の交点を
とする.
は,
に等しい弧の上に立つ円周角に等しい*1.
,
,
は, それぞれ
,
,
の二等分線だから,
したがって, である. 同様に, 他の点
,
についても,
の頂点から下ろした垂線の足であることが証明できる.
//
※ 三角形の角の二等分線が 点で交わることの証明.
と
の二等分線の交点を
とする(
は
の内部で交わる).
から, 辺
,
,
に下ろした垂線の足をそれぞれ,
,
,
とする.
と
は直角三角形で, 斜辺が共通.
なので,
したがって, である. 同様にして,
であることが示せるので,
である. したがって, 直角三角形
と直角三角形
は合同であり,
であることがいえ,
は
の二等分線である. したがって,
,
,
の二等分線は,
で交わる.
//
*1:証明は記事 参照.