陥没地帯 (309) - ノリの悪い日記

京大 $2007$ 年, 理系甲の問題. いろいろな解き方があるなあ. 時間に余裕がないときは, 解 $1$ で終わらしてしまうと思う.

【問】
$\triangle ABC$ において, $\angle A$ の二等分線とこの三角形の外接円との交点で $A$ と異なる点を $A'$ とする. 同様に, $\angle B$ , $\angle C$ の二等分線とこの外接円との交点をそれぞれ, $B'$ , $C'$ とする. このとき $3$ 直線 $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ は $1$ 点 $H$ で交わり, この点 $H$ は三角形の垂心と一致することを証明せよ.

【解 $1$ 】
直線 $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ は, $\triangle ABC$ の内心なので, $1$ 点 $H$ で交わる.

記事 $(301)$ で触れたように, $\triangle ABC$ の内心は, $3$ つの傍心 $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ が作る三角形 $\triangle I_2I_3I_1$ の垂心である. したがって, $H$ は, $\triangle I_2I_3I_1$ の垂心である.

$\triangle A'B'C'$ と $\triangle I_2I_3I_1$ は, $H$ を相似の中心として, 相似の位置にある (相似比は $1/2$ ). したがって, $H$ は $\triangle A'B'C'$ の垂心である.

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【解 $2$ 】

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$A'B'$ と $CC'$ の交点を $D$ とする. $\angle A'DC'$ は, $\displaystyle {\stackrel {\huge \frown} {A'C'}+\stackrel{\huge\frown}{B'C}}$ に等しい弧の上に立つ円周角に等しい*1.

$AA'$ , $BB'$ , $CC'$ は, それぞれ $\angle A$ , $\angle B$ , $\angle C$ の二等分線だから,

$\displaystyle {\stackrel {\huge \frown} {A'C'}+\stackrel{\huge\frown}{B'C} \\= \stackrel {\huge \frown} {A'B}+ \stackrel {\huge \frown} {BC'}+\stackrel{\huge\frown}{B'C} \\= \frac{1}{2}\left( \stackrel {\huge \frown} {BC}+ \stackrel {\huge \frown} {AB}+\stackrel{\huge\frown}{CA}\right) }$

したがって, $\angle A'DC' = 90^{\circ}$ である. 同様に, 他の点 $E$ , $F$ についても, $\triangle A'B'C'$ の頂点から下ろした垂線の足であることが証明できる.
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※ 三角形の角の二等分線が $1$ 点で交わることの証明.

$\angle A$ と $\angle C$ の二等分線の交点を $H$ とする( $H$ は $\triangle ABC$ の内部で交わる). $H$ から, 辺 $AB$ , $BC$ , $CA$ に下ろした垂線の足をそれぞれ, $J$ , $G$ , $I$ とする. $\triangle AHI$ と $\triangle AHJ$ は直角三角形で, 斜辺が共通. $\angle HAI = \angle HAJ$ なので,

$\triangle AHI \equiv \triangle AHJ$

したがって, $HI = HJ$ である. 同様にして, $HI= HG$ であることが示せるので, $HJ = HG$ である. したがって, 直角三角形 $HBJ$ と直角三角形 $HBG$ は合同であり, $\angle HBJ = \angle HBG$ であることがいえ, $BH$ は $\angle B$ の二等分線である. したがって, $\angle A$ , $\angle B$ , $\angle C$ の二等分線は, $H$ で交わる.

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*1:証明は記事 $(188)$ 参照.