ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

2023 年度神奈川県公立高校入試問題から (2)

初等幾何 中学数学

前の記事に引き続いて空間図形の問題をやってみた. いつも思うのだが, 神奈川県の空間図形の問題は例年つまらないものが多い. この問題も, 平面図形の中線定理を適用するだけである. なお, 中線定理は「平行四辺形の 4 辺の平方和は, 対角線の平方和に等しい」と同じである.

【解】
ア) 底面積は 16\pi, 側面積は 40\pi. したがって, 56\pi.

イ) \angle EOB = 120^\circ だから, BE = 4\sqrt{3} である. \triangle EBC に中線定理を適用すると,

BE^2 + EC^2 = 2( ED^2 + DB^2)
48+ 100 = 2( ED^2 + 25)

したがって, ED^2 = 49 となって, ED > 0 から, ED = 7

※ D から AB に垂線を下ろして求める方法もある.

ウ) 母線 CA, 弧 \stackrel{\frown}{AE} , 母線 ECで囲まれた領域を除いて側面を展開した扇形を描いて見ると, 中心角は 120^\circ であることが, すぐに計算できる. EA = 10\sqrt{3} だから, 中線定理を適用して,

EC^2 + EA^2 = 2( EF^2 + FA^2)
100 + 300 = 2( EF^2 + 25)

したがって, EF^2 = 175 となって EF > 0 から, EF = 5\sqrt{7}

※ F から AE に垂線を下ろして求める方法もある.


//