陥没地帯 (299) - ノリの悪い日記

$1961$ 年の東京大学, 文理共通問題. 中学受験の問題にそのままなりそうである.

【問】
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【解】
$\triangle PQR \\= \triangle ABC - \triangle ABQ - \triangle BCR - \triangle CAP$

メネラウスの定理から,

$\begin{eqnarray} \frac{BQ}{QM}\cdot \frac{MA}{AC}\cdot \frac{CL}{LB}&=& \frac{BQ}{QM}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{1} \\ &=& 1 \end{eqnarray}$

したがって,

$\begin{eqnarray} \frac{BQ}{QM} &=& \frac{3}{4} \end{eqnarray}$

これから,

$\begin{eqnarray} \triangle ABQ &=& \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3} \triangle ABC\\ &=& \frac{2}{7} \triangle ABC \end{eqnarray}$

同様にして,

$\begin{eqnarray} \triangle BCR&=& \triangle CAP \\&=& \frac{2}{7} \triangle ABC \end{eqnarray}$

したがって,

$\begin{eqnarray} \triangle PQR &=& \triangle ABC -3\cdot \frac{2}{7}\triangle ABC \\ &=& \frac{1}{7} \triangle ABC \end{eqnarray}$

以上より, $\triangle PQR$ の面積と $\triangle ABC$ の面積の比は, $1:7$ である.
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【別解】
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$\triangle ABQ : \triangle CBQ =2:1$
$\triangle ABQ : \triangle ACQ =1:2 = 2:4$

$\triangle ABC = \triangle ABQ + \triangle CBQ + \triangle ACQ$

したがって,

$\begin{eqnarray} \triangle ABQ &=& \frac{2}{7} \triangle ABC \end{eqnarray}$

あとは同じである.
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