ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (299)

 1961 年の東京大学, 文理共通問題. 中学受験の問題にそのままなりそうである.

【問】
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【解】
 \triangle PQR
\\= \triangle ABC  - \triangle ABQ - \triangle BCR - \triangle CAP

メネラウスの定理から,

 \begin{eqnarray}
\frac{BQ}{QM}\cdot \frac{MA}{AC}\cdot  \frac{CL}{LB}&=& \frac{BQ}{QM}\cdot \frac{2}{3}\cdot  \frac{2}{1} \\
&=& 1
\end{eqnarray}

したがって,

 \begin{eqnarray}
\frac{BQ}{QM} &=& \frac{3}{4}
\end{eqnarray}

これから,

 \begin{eqnarray}
 \triangle ABQ &=& \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3} \triangle ABC\\
&=&  \frac{2}{7} \triangle ABC
\end{eqnarray}

同様にして,

 \begin{eqnarray}
 \triangle BCR&=& \triangle CAP
\\&=&  \frac{2}{7} \triangle ABC
\end{eqnarray}

したがって,

 \begin{eqnarray}
\triangle PQR &=& \triangle ABC -3\cdot \frac{2}{7}\triangle ABC \\
&=& \frac{1}{7} \triangle ABC
\end{eqnarray}

以上より, \triangle PQR の面積と  \triangle ABC の面積の比は, 1:7 である.
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【別解】
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 \triangle ABQ : \triangle CBQ =2:1
 \triangle ABQ : \triangle ACQ =1:2  = 2:4

 \triangle ABC = \triangle ABQ + \triangle CBQ + \triangle ACQ

したがって,

 \begin{eqnarray}
 \triangle ABQ &=&  \frac{2}{7} \triangle ABC
\end{eqnarray}

あとは同じである.
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