陥没地帯 (194) - ノリの悪い日記

塾で, こんな問題があった.

【問】
$\triangle OAB$ において $\vec{OA} = \vec{a}$ , $\vec{OB} = \vec{b}$ とする. 辺 $OB$ の中点を $M$ , 辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $C$ , 辺 $OA$ を $1:4$ に内分する点を $D$ , 線分 $CM$ と線分 $BD$ の交点を $P$ とするとき, $\vec{OP}$ を $\vec{a}$ , $\vec{b}$ で表せ.

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もちろん, 普通 (だが, 普通とはなにか？) のやり方で解けば良い*1のだが, $MP: PC$ を幾何で求めることもできる.

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$OC$ と $DB$ の交点を $Q$ とすると, $\triangle OAC$ を切る $DB$ にメネラウスの定理を使って,

$\displaystyle{\frac{OD}{DA} \cdot \frac{AB}{BC}\cdot \frac{CQ}{QO} \\ = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{1}\cdot \frac{CQ}{QO}\\ =1 }$

となる. また, $\triangle COM$ を切る $DB$ にメネラウスの定理を使って,

$\displaystyle{\frac{OQ}{QC} \cdot \frac{CP}{PM}\cdot \frac{MB}{BO} \\ = \frac{QO}{CQ} \cdot \frac{CP}{PM}\cdot \frac{1}{2}\\ =1 }$

となる. 両式の左辺, 右辺をかけて

$\displaystyle{\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{1}\cdot \frac{CQ}{QO}\cdot \frac{QO}{CQ} \cdot \frac{CP}{PM}\cdot \frac{1}{2} \\ =\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{CP}{PM} \cdot \frac{1}{2}\\ =1}$

したがって,

$CP:PM = 8:3$

である *2. これから,

$\displaystyle{\vec{OP} \\ = \frac{8 \vec{OM} + 3 \vec{OC}}{11}\\ = \frac{8\cdot \frac{1}{2} \vec{b} + 3 (\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b})}{11}\\ = \frac{ \vec{a} + 6 \vec{b}}{11}}$

である.//

※ メネラウスの定理は, 多角形の場合に拡張できる. 四角形 $OACM$ を $DB$ が四角形のどの頂点も通らずに切っているので,

$\displaystyle{\frac{OD}{DA} \cdot \frac{AB}{BC} \cdot \frac{CP}{PM}\cdot \frac{MB}{BO} \\ = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{1}\cdot \frac{CP}{PM} \cdot \frac{1}{2} \\ =1 }$

から,

$CP:PM = 8:3$

である.

※ $3$ 度目だが, この方向で $2013$ 年の京都大学の文理共通の入試問題の別解を考えてみる.

【問】
平行四辺形 $ABCD$ において, 辺 $AB$ を $1:1$ に内分する点を $E$ , 辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $F$ , 辺 $CD$ を $3:1$ に内分する点を $G$ とする. 線分 $CE$ と線分 $FG$ の交点を $P$ とし, 線分 $AP$ を延長した直線と辺 $BC$ の交点を $Q$ とするとき, 比 $AP:PQ$ を求めよ.

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【解】まず, $DX: XA = 1:10$ であることは, 相似を使ってすぐにわかる.

$\triangle ABQ$ とそれを切る $EC$ についてメネラウスの定理を使うと,

$\displaystyle{\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BC}{CQ}\cdot\frac{QP}{PA}\\ = \frac{1}{1}\cdot\frac{BC}{CQ}\cdot\frac{QP}{PA}\\ = \frac{BC}{CQ}\cdot\frac{QP}{PA}\\ =1}$

四角形 $AQCD$ とそれを切る $FX$ にもメネラウスの定理を使うと,

$\displaystyle{\frac{AP}{PQ}\cdot\frac{QF}{FC}\cdot\frac{CG}{GD}\cdot \frac{DX}{XA}\\ = \frac{AP}{PQ}\cdot\frac{QF}{FC}\cdot\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{10}}$
$\displaystyle{= \frac{AP}{PQ}\cdot\frac{3QF}{BC}\cdot\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{10}\\ = \frac{9}{10}\cdot \frac{AP}{PQ}\cdot\frac{QF}{BC}\\ =1}$

つまり,

$\displaystyle{ \frac{BC}{CQ}\cdot\frac{PQ}{AP} = 1\\ \frac{AP}{PQ}\cdot\frac{QF}{BC} = \frac{10}{9} }$

両式の左辺と右辺をそれぞれかけて,

$\displaystyle{ \frac{QF}{CQ} = \frac{10}{9}}$

これから,

$\displaystyle{ \frac{\frac{BC}{3}-CQ}{CQ} = \frac{10}{9}\\ \frac{BC}{CQ} = \frac{19}{3} }$

したがって

$\displaystyle{\frac{AP}{PQ} = \frac{19}{3}}$
//

*1:二つの線分 $DB$ と $MC$ の内分点が一致したものが $P$ だから, $\vec{OP}$ $= s\vec{OM} + (1-s)\vec{OC}$ $= t\vec{OD} + (1-t)\vec{OB}$ から $s$ または $t$ を求めればよい.

*2:天秤法でもできる. $\triangle OAC$ について, $O$ を $4$ とすれば $A$ は $1$ , $B$ は $2$ , したがって $C$ は $3$ なので, $OQ:QC = 3:4$ である. 次に $\triangle OCM$ について, $O$ を $4$ , $C$ を $3$ とすれば, $B$ は $4$ なので $M$ は $8$ である. したがって, $MP: PC = 3: 8$ である.