塾で, こんな問題があった.
【問】
において
,
とする. 辺
の中点を
, 辺
を
に内分する点を
, 辺
を
に内分する点を
, 線分
と線分
の交点を
とするとき,
を
,
で表せ.
もちろん, 普通 (だが, 普通とはなにか?) のやり方で解けば良い*1のだが, を幾何で求めることもできる.
と
の交点を
とすると,
を切る
にメネラウスの定理を使って,
となる. また, を切る
にメネラウスの定理を使って,
となる. 両式の左辺, 右辺をかけて
したがって,
である *2. これから,
である.//
※ メネラウスの定理は, 多角形の場合に拡張できる. 四角形 を
が四角形のどの頂点も通らずに切っているので,
から,
である.
※ 度目だが, この方向で
年の京都大学の文理共通の入試問題の別解を考えてみる.
【問】
平行四辺形 において, 辺
を
に内分する点を
, 辺
を
に内分する点を
, 辺
を
に内分する点を
とする. 線分
と線分
の交点を
とし, 線分
を延長した直線と辺
の交点を
とするとき, 比
を求めよ.
【解】まず, であることは, 相似を使ってすぐにわかる.
とそれを切る
についてメネラウスの定理を使うと,
四角形 とそれを切る
にもメネラウスの定理を使うと,
つまり,
両式の左辺と右辺をそれぞれかけて,
これから,
したがって
//