ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (187)

初等幾何 高校数学

2017 年のセンター試験, 数 IA の問題. なんか, 公式の計算練習のような問題で, わざわざやって損したような気分.

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【解】

(1) 方べきの定理より,

BC \cdot CE = AC \cdot CD= 28

したがって,

\displaystyle{CE = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}}

メネラウスの定理から,

\displaystyle{\frac{CE}{BE}\cdot \frac{BF}{AF}\cdot \frac{AD}{CD}=1}

なので,

\displaystyle{\frac{BF}{AF}=\frac{BE}{CE}\cdot \frac{CD}{AD}=\frac{9\times4}{7\times3}=\frac{12}{7}}

である. したがって,

\displaystyle{\frac{AF+3}{AF}=\frac{12}{7}}

だから, これを解いて,

\displaystyle{AF = \frac{21}{5}}

となる.

(2) 余弦定理より,

\displaystyle{\cos \angle ABC = \frac{3^2+8^2-7^2}{2\times3\times8} = \frac{1}{2}}

0 \lt \angle ABC \lt \pi から、 \angle ABC = 60^\circ

\displaystyle{\triangle ABC = \frac{1}{2}\times 3 \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}}

\triangle ABC の内接円の半径を r とすると,

\displaystyle{\frac{1}{2}(3+7+8)r=9r=6\sqrt{3}}

だから,

\displaystyle{r = \frac{2\sqrt{3}}{3}}

である. x = BI とすると,

x^2 = (x \cos 30^\circ)^2 + r^2
\displaystyle{x^2 = \frac{3}{4}x^2+ \frac{4}{3}}
\displaystyle{\frac{1}{4}x^2=\frac{4}{3}}

x \gt 0 だから,

\displaystyle{BI = x = \frac{4\sqrt{3}}{3}}

である.//

※ (2) は, 変な方向への醜い誘導が与えられているのでこう解いた. 自然だと思う解き方は, 三角形の 3 辺の長さがみな与えられているのだから, ヘロンの公式を使って,

s = \frac{1}{2}(3+7+8) = 9 だから,

\displaystyle{\triangle ABC = \sqrt{9\cdot6\cdot2\cdot1}=6\sqrt{3}}

であり, 内接円の半径 r は,

sr = \triangle ABC

から,

\displaystyle{r = \frac{2\sqrt{3}}{3}}

である. また,

\displaystyle{\begin{align}\frac{1}{2}AB \cdot BC \sin \angle ABC &= 12 \sin \angle ABC \\&= 6\sqrt{3}\end{align}}

だから,

\displaystyle{\begin{align}\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}}

となり, \angle ABC = 60^\circ である.

BC と内接円の接点を G とすれば,

BG = s - AC = 2

なので, ピタゴラスの定理より、

\displaystyle{BI = \sqrt{2^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \frac{4\sqrt{3}}{3}}

である.
//