ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (187)

2017 年のセンター試験、数1A の問題。なんか、公式の計算練習のような問題で、わざわざやって損したような気分。

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【解】

(1) 方べきの定理より、

 BC \cdot CE = AC \cdot  CD= 28

したがって、

 \displaystyle{CE = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}}

メネラウスの定理から、

\displaystyle{\frac{CE}{BE}\cdot \frac{BF}{AF}\cdot \frac{AD}{CD}=1}

なので、

\displaystyle{\frac{BF}{AF}=\frac{BE}{CE}\cdot \frac{CD}{AD}=\frac{9\times4}{7\times3}=\frac{12}{7}}

である。したがって

\displaystyle{\frac{AF+3}{AF}=\frac{12}{7}}

だから、これを解いて

 \displaystyle{AF = \frac{21}{5}}

となる。

(2) 余弦定理より、

 \displaystyle{\cos \angle ABC = \frac{3^2+8^2-7^2}{2\times3\times8} = \frac{1}{2}}

 0 \lt \angle ABC \lt \pi から、 \angle ABC = 60^\circ

 \displaystyle{\triangle ABC = \frac{1}{2}\times 3 \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}}

 \triangle ABC の内接円の半径を  r とすると、

 \displaystyle{\frac{1}{2}(3+7+8)r=9r=6\sqrt{3}}

だから、

 \displaystyle{r = \frac{2\sqrt{3}}{3}}

である。 x = BI とすると、

 x^2 = (x \cos 30^\circ)^2 + r^2
 \displaystyle{x^2 = \frac{3}{4}x^2+ \frac{4}{3}}
 \displaystyle{\frac{1}{4}x^2=\frac{4}{3}}

 x \gt 0 だから、

 \displaystyle{BI = x =  \frac{4\sqrt{3}}{3}}

である。//

※ (2) は、変な方向への醜い誘導が与えられているのでこう解いた。自然だと思う解き方は、三角形の三辺の長さがみな与えられているのだから、ヘロンの公式を使って、

 s = \frac{1}{2}(3+7+8) = 9 だから、

 \displaystyle{\triangle ABC =  \sqrt{9\cdot6\cdot2\cdot1}=6\sqrt{3}}

であり、内接円の半径  r は、

 sr = \triangle ABC

から、

 \displaystyle{r = \frac{2\sqrt{3}}{3}}

である。また、

 \displaystyle{\begin{align}\frac{1}{2}AB \cdot BC \sin \angle ABC &= 12 \sin \angle ABC \\&= 6\sqrt{3}\end{align}}

だから

 \displaystyle{\begin{align}\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}}

となり、 \angle ABC = 60^\circ である。

 BC と内接円の接点を  G とすれば、

BG = s - AC = 2

なので、ピタゴラスの定理より、

 \displaystyle{BI = \sqrt{2^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \frac{4\sqrt{3}}{3}}

である。
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