ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (192)

前の記事の続き。過去の入試問題から。

【問】
(1) 三角形  ABC の内部の一点を  M とするとき,  MB + MC \lt AB + AC が成り立つことを証明せよ。
(2) 長方形  ABCD の辺  AD, \ CD 上にそれぞれ点  P, \ Q をとる。このとき,  PB + PQ \leq AB + AQ が成り立つことを証明せよ。

【解】
(1) 前の記事で証明したので省略する。(誘導問題として残しておいた。)

(2)
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図を描くと上のようになる。まず  Q D の位置にいるときは, 三角不等式を使って容易に,

 PB + PQ \leq AB + AQ

が示せる (等号成立は,  P A の位置のとき) ので, 以降,  Q D の位置にはないとする

すると,  P A の位置にあるときは, 等号が成立するのはすぐにわかる。

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 CD を延長して Q' DQ = DQ' となるようにとり,  BQ' AD の交点を  E とする。

 P \triangle ABQ' の内部にある場合は, (1) の結果から,

 PB + PQ' \lt AB + AQ'

である。 PQ' = PQ, \ AQ' = AQ なので,

 PB + PQ \lt AB + AQ

となる。

 P が丁度  E の位置にいる場合は,

 BQ'=PB + PQ' \lt AB + AQ'

から

 PB + PQ \lt AB + AQ

となる。

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 P \triangle BDQ' の内部にある場合は, 再び (1) の結果を使って,

 PB+PQ' \lt DB + DQ'
 PB+PQ \lt DB + DQ

となる。

 AB 上に  AQ" = DQ となるように  Q" をとる。 \triangle Q"BD を考えると,

 Q"D = AQ
 Q"B = AB - AQ" = AB -DQ

である。したがって,

 DB \leq Q"D + Q"B = AB + AQ -DQ \\ DB + DQ \leq AB + AQ

となり (等号成立は  Q C の位置のとき),

 PB + PQ \lt AB + AQ

である。

最後に  P D と一致する場合は,

 PB + PQ = DB + DQ \leq AB + AQ

である (等号は  Q C の位置にあるとき)。

以上, 題意は成立する。//