陥没地帯 (183) - ノリの悪い日記

バラ科シモツケソウ属。それ以上の区別はいまだにできない。
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バイカウツギ。
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複素数を使って初等幾何を扱う練習. 以下断らない限り, 平面は複素平面で, 円は単位円である.

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上図で異なる点を $A(a)$ , $B(b)$ , $C(c)$ , $D(d)$ として $AB$ と $CD$ が平行である必要条件を求めてみる.

$AB$ と $CD$ が平行であるとすると, $\displaystyle {\stackrel {\huge \frown} {AC}= \stackrel{\huge\frown}{BD}}$ だから,

$\displaystyle{\frac{c}{a} = \frac{b}{d}}$

である. つまり, $ab = cd$ である. 逆もそのままたどれば成立つ.//

次に $AB$ と $CD$ が直交する必要十分条件を求めてみる.

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$A$ を通り $CD$ に平行な直線を引き, 単位円との交点を $E(e)$ とすれば, $e = -b$ である. $AE$ と $CD$ が平行な必要十分条件は, 先程求めた結果から, $ae = -ab = cd$ である. したがって, $AB$ と $CD$ が直交する必要十分条件は $ab + cd = 0$ である.//

次に円周上の点 $A$ , $B$ を通る直線の方程式を求める.

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複素数 $z$ が求める直線上にあるための必要十分条件は, $z-a$ が $b-a$ の実数倍であることだったから,

$\displaystyle {\overline{\left(\frac{z-a}{b-a}\right)}= \frac{z-a}{b-a}}$

これから, $\displaystyle{\overline{a} = \frac{1}{a}}$ , $\displaystyle{\overline{b} = \frac{1}{b}}$ なので,

$\displaystyle {\overline{(z-a)}(b-a)= (z-a)\overline{(b-a)}}$
$\displaystyle {\left(\overline{z}-\frac{1}{a}\right)(b-a)= (z-a)\left(\frac{1}{b} - \frac{1}{a}\right)}$

両辺に $ab$ をかけて $b-a$ で割ると,

$\displaystyle {ab\left(\overline{z}-\frac{1}{a}\right)= -z+a}$

つまり,

$z + ab\overline{z} = a + b$

が求める直線の方程式である.//

直線 $AB$ と $CD$ の交点を求める.

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交点を $Z(z)$ とすると,

$z + ab\overline{z} = a + b$
$z + cd\overline{z} = c+d$

から,

$cdz + abcd \overline{z} = cd(a + b)$
$abz + abcd\overline{z} = ab(c+d)$

したがって,

$\displaystyle{z =\frac{ab(c+d)-cd(a+b)}{ab -cd}}$

となる.//

点 $A$ を通る接線の方程式を求める.

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接線上の点を $Z(z)$ とすると, $z-a$ と $a$ が直交するので, $\displaystyle{\frac{z-a}{a}}$ は純虚数である. したがって,

$\displaystyle {\overline{\left(\frac{z-a}{a}\right)}= -\frac{z-a}{a}}$
$\displaystyle {\overline{(z-a)}a= -(z-a)\overline{a}}$
$\overline{a}z+ a\overline{z}=2$
$z+ a^2\overline{z}=2a$

である.//

※ 単位円上の $2$ つの点 $A(a)$ , $B(b)$ における接線の交点は, $\displaystyle{\frac{2ab}{a+b}}$ である.//

$2$ つの弦 $BC$ と $PP'$ が直交しているとき, その交点 $P"$ を求める.

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$bc + pp' = 0$ から, $\displaystyle{ p' = - \frac{bc}{p}}$ である.

$\displaystyle{\begin{align}p" &= \frac{bc(p+p')-pp'(b+c)}{bc - pp'}\\ &= \frac{bc(p+p')+bc(b+c)}{bc + bc}\\ &= \frac{p+p'+b+c}{2} \end{align}}$

から,

$\displaystyle{p" = \frac{1}{2}\left(p + b + c -\frac{bc}{p}\right)}$

となる.//

単位円に内接する三角形 $ABC$ の垂心 $H$ を求める.

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$ab + cc' =0$
$ac + bb' = 0$

だから,

$\displaystyle{\begin{align}h &= \frac{bb'(c+c')-cc'(b+b')}{bb'- cc'}\\ &= \frac{-ac(c+c')+ab(b+b')}{ab-ac}\\ &= \frac{-c(c+c')+b(b+b')}{b-c}\\ &= \frac{b^2-c^2+ab-ac}{b-c}\\ &= a+b+c \end{align}}$

である.//

シムソンの定理. 単位円の周上の点 $P$ から, 内接する三角形 $ABC$ の辺 $AB$ , $BC$ , $CA$ またはその延長上に下ろした垂線の交点を $F$ , $E$ , $G$ とすると, 三点 $F$ , $E$ , $G$ は一直線上にある (この線をシムソン線という). さらにスタイネルの定理. 三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とすれば, $PH$ の中点 $M$ は, シムソン線上にある.

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$\displaystyle{e = \frac{1}{2}\left(p + b + c - \frac{bc}{p}\right)}$
$\displaystyle{f = \frac{1}{2}\left(p + a + b - \frac{ab}{p}\right)}$
$\displaystyle{g = \frac{1}{2}\left(p + c + a - \frac{ca}{p}\right)}$
$\displaystyle{m = \frac{1}{2}\left(p+a+b+c\right)}$

したがって,

$\displaystyle{f - e = \frac{(a-c)(p-b)}{2p}}$
$\displaystyle{g - e = \frac{(a-b)(p-c)}{2p}}$

となり,

$\displaystyle{\begin{align}\overline{\left(\frac{f-e}{g-e}\right)} &= \overline{\left(\frac{(a-c)(p-b)}{(a-b)(p-c)}\right)}\\&= \frac{(1/a-1/c)(1/p-1/b)}{(1/a-1/b)(1/p-1/c)}\end{align}}$

最後の式をさらに整理すると,

$\displaystyle{ \frac{(a-c)(p-b)}{(a-b)(p-c)} = \frac{f-e}{g-e}}$

となる (★). したがって,

$\displaystyle{\overline{\left(\frac{f-e}{g-e}\right)} = \frac{f-e}{g-e}}$

となり, $E$ , $F$ , $G$ は同一直線上にあるので, シムソンの定理が証明された.

同様に,

$\displaystyle{m-e = \frac{ap+bc}{2p}}$
$\displaystyle {g-m = -\frac{ca+pb}{2p}}$

だから,

$\displaystyle{\begin{align}\overline{\left(\frac{m-e}{g-m}\right)} &= -\overline{\left(\frac{ap+bc}{ca+pb}\right)}\\&= -\frac{\frac{1}{ap}+\frac{1}{bc}}{\frac{1}{ac}+ \frac{1}{pb}}\end{align}}$

となり, 最後の式を整理すると,

$\displaystyle{-\frac{bc+ap}{ca+bp} = \frac{m-e}{g-m}}$

となり, したがって,

$\displaystyle{\overline{\left(\frac{m-e}{g-m}\right)} = \frac{m-e}{g-m}}$

なので, $E$ , $M$ , $G$ は同一直線上にある.//

※ 参考までに京都大学の入試問題を下にあげる. シムソンの定理の証明で, $A$ , $B$ , $C$ , $P$ は同一円周上にあるのだから, 下記の内容がいえ, ★から $E$ , $F$ , $G$ は同一直線上にあることがいえるのである. なお, 下の問で定義されている $w$ のことを「複比」という.

【問】相異なる $4$ つの複素数 $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ , $z_4$ に対して,

$\displaystyle{w = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}}$

とする. このとき, 以下のことを証明せよ.

$(1)$ 複素数 $z$ が単位円上にあるための必要十分条件は $\displaystyle{\overline{z} = \frac{1}{z}}$ である.
$(2)$ $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ , $z_4$ が単位円上にあるとき, $w$ は実数である.
$(3)$ $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ が単位円上にあり, $w$ が実数であれば, $z_4$ は単位円上にある.

【解】
$(1)$ 複素数 $z$ が単位円上にあれば, $|z| = 1$ である. したがって,
$\displaystyle{|z|^2 = z\overline{z} =1}$ なので, $\displaystyle {\overline{z} = \frac{1}{z}}$ となる. 逆に, $\displaystyle {\overline{z} = \frac{1}{z}}$ のとき, $\displaystyle{z\overline{z} = |z|^2= 1}$ から $|z| = 1$ となり, $z$ は単位円上にある.

$(2)$
$(1)$ の結果から,

$\displaystyle{\begin{align}\overline{w} &=\frac{(1/z_1-1/z_3)(1/z_2-1/z_4)}{(1/z_1-1/z_4)(1/z_2-1/z_3)} \\ &=\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)} \\&= w \end{align}}$

となり, $w$ は実数である.

(3) 仮設から $\displaystyle{w = \overline{w}}$ である. これと, $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ が単位円上にあることから,

$\displaystyle{\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)} \\ = \frac{(1/z_1-1/z_3)(1/z_2-\overline{z_4})}{(1/z_1-\overline{z_4})(1/z_2-1/z_3)} }$
$\displaystyle{= \frac{(z_1-z_3)(1-z_2\overline{z_4})}{(1-z_1\overline{z_4})(z_2-z_3)} }$