バラ科シモツケソウ属。それ以上の区別はいまだにできない。
バイカウツギ。
複素数を使って初等幾何を扱う練習. 以下断らない限り, 平面は複素平面で, 円は単位円である.
上図で異なる点を ,
,
,
として
と
が平行である必要条件を求めてみる.
と
が平行であるとすると,
だから,
である. つまり, である. 逆もそのままたどれば成立つ.//
次に と
が直交する必要十分条件を求めてみる.
を通り
に平行な直線を引き, 単位円との交点を
とすれば,
である.
と
が平行な必要十分条件は, 先程求めた結果から,
である. したがって,
と
が直交する必要十分条件は
である.//
次に円周上の点 ,
を通る直線の方程式を求める.
複素数 が求める直線上にあるための必要十分条件は,
が
の実数倍であることだったから,
これから, ,
なので,
両辺に をかけて
で割ると,
つまり,
が求める直線の方程式である.//
直線 と
の交点を求める.
交点を とすると,
から,
したがって,
となる.//
点 を通る接線の方程式を求める.
接線上の点を とすると,
と
が直交するので,
は純虚数である. したがって,
である.//
※ 単位円上の つの点
,
における接線の交点は,
である.//
つの弦
と
が直交しているとき, その交点
を求める.
から,
である.
から,
となる.//
単位円に内接する三角形 の垂心
を求める.
だから,
である.//
シムソンの定理. 単位円の周上の点 から, 内接する三角形
の辺
,
,
またはその延長上に下ろした垂線の交点を
,
,
とすると, 三点
,
,
は一直線上にある (この線をシムソン線という). さらにスタイネルの定理. 三角形
の垂心を
とすれば,
の中点
は, シムソン線上にある.
したがって,
となり,
最後の式をさらに整理すると,
となる (★). したがって,
となり, ,
,
は同一直線上にあるので, シムソンの定理が証明された.
同様に,
だから,
となり, 最後の式を整理すると,
となり, したがって,
なので, ,
,
は同一直線上にある.//
※ 参考までに京都大学の入試問題を下にあげる. シムソンの定理の証明で, ,
,
,
は同一円周上にあるのだから, 下記の内容がいえ, ★から
,
,
は同一直線上にあることがいえるのである. なお, 下の問で定義されている
のことを「複比」という.
【問】相異なる つの複素数
,
,
,
に対して,
とする. このとき, 以下のことを証明せよ.
複素数
が単位円上にあるための必要十分条件は
である.
,
,
,
が単位円上にあるとき,
は実数である.
,
,
が単位円上にあり,
が実数であれば,
は単位円上にある.
【解】
複素数
が単位円上にあれば,
である. したがって,
なので,
となる. 逆に,
のとき,
から
となり,
は単位円上にある.
の結果から,
となり, は実数である.
(3) 仮設から である. これと,
,
,
が単位円上にあることから,
となり, つの複素数はみな異なるので,
整理すると,
なので,
がいえ, つまり
がいえた. したがって
は単位円上にある.//